在欧氏空间R^3中定义线性变换σ,对于任意(x1,x2,x3)∈R^3,σ((x1,x2,x3))=(2x1+x2+x3,x1+2x2+x3,x1+x2+2x3)1,写出线性变换σ在标准正交基ε1,ε2,ε3下的矩阵A2.证明σ是对称变换3.求A的所有特征值和特征向量4.求
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/05 05:20:24
![在欧氏空间R^3中定义线性变换σ,对于任意(x1,x2,x3)∈R^3,σ((x1,x2,x3))=(2x1+x2+x3,x1+2x2+x3,x1+x2+2x3)1,写出线性变换σ在标准正交基ε1,ε2,ε3下的矩阵A2.证明σ是对称变换3.求A的所有特征值和特征向量4.求](/uploads/image/z/12605441-41-1.jpg?t=%E5%9C%A8%E6%AC%A7%E6%B0%8F%E7%A9%BA%E9%97%B4R%5E3%E4%B8%AD%E5%AE%9A%E4%B9%89%E7%BA%BF%E6%80%A7%E5%8F%98%E6%8D%A2%CF%83%2C%E5%AF%B9%E4%BA%8E%E4%BB%BB%E6%84%8F%28x1%2Cx2%2Cx3%29%E2%88%88R%5E3%2C%CF%83%28%28x1%2Cx2%2Cx3%29%29%3D%282x1%2Bx2%2Bx3%2Cx1%2B2x2%2Bx3%2Cx1%2Bx2%2B2x3%291%2C%E5%86%99%E5%87%BA%E7%BA%BF%E6%80%A7%E5%8F%98%E6%8D%A2%CF%83%E5%9C%A8%E6%A0%87%E5%87%86%E6%AD%A3%E4%BA%A4%E5%9F%BA%CE%B51%2C%CE%B52%2C%CE%B53%E4%B8%8B%E7%9A%84%E7%9F%A9%E9%98%B5A2.%E8%AF%81%E6%98%8E%CF%83%E6%98%AF%E5%AF%B9%E7%A7%B0%E5%8F%98%E6%8D%A23.%E6%B1%82A%E7%9A%84%E6%89%80%E6%9C%89%E7%89%B9%E5%BE%81%E5%80%BC%E5%92%8C%E7%89%B9%E5%BE%81%E5%90%91%E9%87%8F4.%E6%B1%82)
在欧氏空间R^3中定义线性变换σ,对于任意(x1,x2,x3)∈R^3,σ((x1,x2,x3))=(2x1+x2+x3,x1+2x2+x3,x1+x2+2x3)1,写出线性变换σ在标准正交基ε1,ε2,ε3下的矩阵A2.证明σ是对称变换3.求A的所有特征值和特征向量4.求
在欧氏空间R^3中定义线性变换σ,对于任意(x1,x2,x3)∈R^3,σ((x1,x2,x3))=(2x1+x2+x3,x1+2x2+x3,x1+x2+2x3)
1,写出线性变换σ在标准正交基ε1,ε2,ε3下的矩阵A
2.证明σ是对称变换
3.求A的所有特征值和特征向量
4.求R^3的一组标准正交基,使得σ在该基下的矩阵是对角矩阵
在欧氏空间R^3中定义线性变换σ,对于任意(x1,x2,x3)∈R^3,σ((x1,x2,x3))=(2x1+x2+x3,x1+2x2+x3,x1+x2+2x3)1,写出线性变换σ在标准正交基ε1,ε2,ε3下的矩阵A2.证明σ是对称变换3.求A的所有特征值和特征向量4.求
由σ的定义得
σ(ε1)=σ((1,0,0)^T)=(2,1,1)^T=2ε1+ε2+ε3
σ(ε2)=σ((0,1,0)^T)=(1,2,1)^T=ε1+2ε2+ε3
σ(ε3)=σ((0,0,1)^T)=(1,1,2)^T=ε1+ε2+2ε3
σ(ε1,ε2,ε3)=(ε1,ε2,ε3)A
A =
2 1 1
1 2 1
1 1 2.
由于A^T=A,所以σ在一个标准正交基下的矩阵是对称矩阵
所以σ是对称变换.(定理)
|A-λE| = (4-λ)(1-λ)^2
所以 A 的特征值为 4,1,1.
(A-4E)X=0 的基础解系为 a1=(1,1,1)^T.
属于特征值4的全部特征向量为 k1a1,k1≠0.
(A-E)X=0 的基础解系为 a2=(1,-1,0)^T,a3=(1,1,-2)^T.
属于特征值1的全部特征向量为 k2a2+k3a3,k2,k3不全为0.
将a1,a2,a3单位化得R^3的标准正交基
b1=(1/√3)(1,1,1)^T
b2=(1/√2)(1,-1,0)^T
b3=(1/√6)(1,1,-2)^T
且 P=(b1,b2,b3)是正交矩阵,满足 P^-1AP = diag(4,1,1)
由 (b1,b2,b3)=(ε1,ε2,ε3)P 得
σ(b1,b2,b3)=σ(ε1,ε2,ε3)P
= (ε1,ε2,ε3)AP
= (b1,b2,b3)P^-1AP
= (b1,b2,b3)diag(4,1,1).
故 σ在R^3的标准正交基b1,b2,b3下的矩阵是对角矩阵diag(4,1,1).