利用莱布尼茨判别法判别级数收敛性时,条件中A(n)>0,是用什么判断的?是利用当n→∞时,求A(n)的极限如题.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/03 22:34:44
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利用莱布尼茨判别法判别级数收敛性时,条件中A(n)>0,是用什么判断的?是利用当n→∞时,求A(n)的极限如题.
利用莱布尼茨判别法判别级数收敛性时,条件中A(n)>0,是用什么判断的?是利用当n→∞时,求A(n)的极限
如题.
利用莱布尼茨判别法判别级数收敛性时,条件中A(n)>0,是用什么判断的?是利用当n→∞时,求A(n)的极限如题.
你这样理解是错误的.
莱布尼茨判别法定义如下:
如果数列{an} (an>0) 单调减少且收敛于0,那么交错级数∑(-1)^(n+1)·an收敛.
从数列{an}单调减少且收敛于0这句话来看,很明显当n→∞时,an的极限为0,你能从一个数列的极限为0出发得到这个数列是个正数列吗?
举个例子,比如∑(-1)^(n+1)·1/n,这个级数是收敛的,an=1/n单调减少收敛于0,an的极限时0,你可以很轻易的判断出1/n是个正数列,但绝对不会是因为它的极限为0你才得到他是正数列这个结论的,对吧.
那么,如果an极限为0,能不能得到交错极限收敛呢?
同样是不能的,举个例子,看级数∑(-1)^(n+1)·an,该级数的an=(-1)^(n+1)·1/n,很明显当n→∞时,an的极限为0,但是原级数∑(-1)^(n+1)·an=∑1/n,该级数很明显是发散的.
所以,利用莱布尼茨判别法判别级数收敛性时条件中an>0,应该理解为存在N属于自然数,任取n>N,an>0.也就是说,当N充分大时,an的第N项后面的所有项大于0就可以了,因为前N项是有限项,有限项必然收敛,第N项后面的满足莱布尼茨判别法的话也是收敛的,所以原级数收敛.同样的道理,“数列{an}单调减少且收敛于0”也可以理解为当N充分大时an的第N项后面的所有项单调减少且收敛于0.