一道有关有理数的数学题建立递推公式求Sn=2^3+5^3+8^3+…+(3n-1)^3.(请写出详细的过程和解析,别写太深奥的,要不我看不懂)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/04 04:02:39
![一道有关有理数的数学题建立递推公式求Sn=2^3+5^3+8^3+…+(3n-1)^3.(请写出详细的过程和解析,别写太深奥的,要不我看不懂)](/uploads/image/z/1106535-39-5.jpg?t=%E4%B8%80%E9%81%93%E6%9C%89%E5%85%B3%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0%E7%9A%84%E6%95%B0%E5%AD%A6%E9%A2%98%E5%BB%BA%E7%AB%8B%E9%80%92%E6%8E%A8%E5%85%AC%E5%BC%8F%E6%B1%82Sn%3D2%5E3%2B5%5E3%2B8%5E3%2B%E2%80%A6%2B%283n-1%29%5E3.%EF%BC%88%E8%AF%B7%E5%86%99%E5%87%BA%E8%AF%A6%E7%BB%86%E7%9A%84%E8%BF%87%E7%A8%8B%E5%92%8C%E8%A7%A3%E6%9E%90%2C%E5%88%AB%E5%86%99%E5%A4%AA%E6%B7%B1%E5%A5%A5%E7%9A%84%2C%E8%A6%81%E4%B8%8D%E6%88%91%E7%9C%8B%E4%B8%8D%E6%87%82%EF%BC%89)
一道有关有理数的数学题建立递推公式求Sn=2^3+5^3+8^3+…+(3n-1)^3.(请写出详细的过程和解析,别写太深奥的,要不我看不懂)
一道有关有理数的数学题
建立递推公式求Sn=2^3+5^3+8^3+…+(3n-1)^3.(请写出详细的过程和解析,别写太深奥的,要不我看不懂)
一道有关有理数的数学题建立递推公式求Sn=2^3+5^3+8^3+…+(3n-1)^3.(请写出详细的过程和解析,别写太深奥的,要不我看不懂)
(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3
(3n-1)^3=27n^3-27n^2+9n-1
Sn=27*(1^3+2^3+..+n^3)-27*(1^2+2^+..+n^2)+9*(1+2+.+n)-n
其中:
1^3+2^3+..+n^3=[n*(n+1)/2]^2
1^2+2^2+..+n^2=n*(n+1)*(2n+1)/6
1+2+.+n=n*(1+n)/2
代入,即可!
补充关于自然数列立方和公式的推导
即 1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2
(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]
=(2n^2+2n+1)(2n+1)
=4n^3+6n^2+4n+1
2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1
4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1
.
(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1
各式相加有
(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n
4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n=[n(n+1)]^2
1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2
补充关于平方和的推导:
1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
.
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6