已知抛物线y^2=2px(p>0)的焦点为F,过F的直线交抛物线于A、B两点.(1)求证:1/|FA|+1/|FB|为定值(2)求AB的中点M的轨迹(图:抛物线y^2=2px,A在第一象限,B在第四象限)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/28 09:42:31
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已知抛物线y^2=2px(p>0)的焦点为F,过F的直线交抛物线于A、B两点.(1)求证:1/|FA|+1/|FB|为定值(2)求AB的中点M的轨迹(图:抛物线y^2=2px,A在第一象限,B在第四象限)
已知抛物线y^2=2px(p>0)的焦点为F,过F的直线交抛物线于A、B两点.
(1)求证:1/|FA|+1/|FB|为定值
(2)求AB的中点M的轨迹
(图:抛物线y^2=2px,A在第一象限,B在第四象限)
已知抛物线y^2=2px(p>0)的焦点为F,过F的直线交抛物线于A、B两点.(1)求证:1/|FA|+1/|FB|为定值(2)求AB的中点M的轨迹(图:抛物线y^2=2px,A在第一象限,B在第四象限)
(1)A(X1,Y1)B(X2,Y2)
AB直线方程为:y=k(x-p/2)
代人:y^2=2px得:
k^2*(x-p/2)^2=2px
k^2*x^2-(p*k^2+2p)x+k^2*p^2/4=0
x1*x2=p^2/4,x1+x2=(p*k^2+2p)/(k^2)
根据抛物线的几何关系:FA=x1+p/2,FB=x2+p/2
1/|FA|+1/|FB|=1/(x1+p/2)+1/(x2+p/2)
=(x1+x2+p)/(x1+p/2)(x2+p/2)
=(x1+x2+p)/[x1x2+p(x1+x2)/2+p^2/4]
=(x1+x2+p)/[p^2/4+p(x1+x2)/2+p^2/4]
=(x1+x2+p)/[p(x1+x2+p)/2]
=2/p 为定值
(2)M的横坐标为(p*k^2-2p)/[2(k^2)]
把x=(p*k^2+2p)/[2(k^2)] 代入y=k(x-p/2)
则y=p/k
x=(p*k^2+2p)/[2(k^2)],y=p/k
消掉参数k,得 y^2=2/(2px-p^2)
如有什么地方不理解的,请提问,我很乐意为你作答.
:(1)①∵抛物线的标准方程是y2=8x,
∴y2=2×4x,它的焦点坐标是( p2,0),即(2,0),
准线方程是:x=- p2=-2;
②∵抛物线的焦点坐标是F(0,-6),
∴- p2=-6,p=12,
∴x 2=-2py,
∴x2=-24y;
(2)∵M(x,y)到点F(4,0)的距离比M到直线x=-5的距离小1,
∴点M到...
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:(1)①∵抛物线的标准方程是y2=8x,
∴y2=2×4x,它的焦点坐标是( p2,0),即(2,0),
准线方程是:x=- p2=-2;
②∵抛物线的焦点坐标是F(0,-6),
∴- p2=-6,p=12,
∴x 2=-2py,
∴x2=-24y;
(2)∵M(x,y)到点F(4,0)的距离比M到直线x=-5的距离小1,
∴点M到点F的距离与到直线x=-4的距离相等,
所以点M的轨迹是以x=-4为准线,以F(4,0)为焦点的抛物线.
显然其顶点是O(0,0),焦参数(焦点到直线的距离)p=4-(-4)=8,
所以点M的轨迹方程是抛物线方程:y2=16x;
(3)∵抛物线y2=4x的焦点是(1,0),
∴直线 y=3x+b的解析式为:y= 3x- 3,
将y= 3x- 3与y2=4x联立求出x 1=3'x 2= 13,y 1=2 3,y 2=- 233,
∴两函数的交点A,B,为(3,2 3),( 13,- 233),
∴线段AB的长为:AB= (3-13)2+(23+233)2= 163.
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