一道数学竞赛的平面几何问题 如图所示,PA、PB是圆O的切线,切点为A、B.连接AB.在圆上取AB右侧的点C,连接PC交圆O于D.取AP中点M,连接CM交AB与点E,连接DE.求证:DE∥AP
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/27 04:38:42
![一道数学竞赛的平面几何问题 如图所示,PA、PB是圆O的切线,切点为A、B.连接AB.在圆上取AB右侧的点C,连接PC交圆O于D.取AP中点M,连接CM交AB与点E,连接DE.求证:DE∥AP](/uploads/image/z/10114400-56-0.jpg?t=%E4%B8%80%E9%81%93%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%AB%9E%E8%B5%9B%E7%9A%84%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E5%87%A0%E4%BD%95%E9%97%AE%E9%A2%98+++%E5%A6%82%E5%9B%BE%E6%89%80%E7%A4%BA%2CPA%E3%80%81PB%E6%98%AF%E5%9C%86O%E7%9A%84%E5%88%87%E7%BA%BF%2C%E5%88%87%E7%82%B9%E4%B8%BAA%E3%80%81B.%E8%BF%9E%E6%8E%A5AB.%E5%9C%A8%E5%9C%86%E4%B8%8A%E5%8F%96AB%E5%8F%B3%E4%BE%A7%E7%9A%84%E7%82%B9C%2C%E8%BF%9E%E6%8E%A5PC%E4%BA%A4%E5%9C%86O%E4%BA%8ED.%E5%8F%96AP%E4%B8%AD%E7%82%B9M%2C%E8%BF%9E%E6%8E%A5CM%E4%BA%A4AB%E4%B8%8E%E7%82%B9E%2C%E8%BF%9E%E6%8E%A5DE.%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9ADE%E2%88%A5AP)
一道数学竞赛的平面几何问题 如图所示,PA、PB是圆O的切线,切点为A、B.连接AB.在圆上取AB右侧的点C,连接PC交圆O于D.取AP中点M,连接CM交AB与点E,连接DE.求证:DE∥AP
一道数学竞赛的平面几何问题
如图所示,PA、PB是圆O的切线,切点为A、B.连接AB.在圆上取AB右侧的点C,连接PC交圆O于D.取AP中点M,连接CM交AB与点E,连接DE.求证:DE∥AP
一道数学竞赛的平面几何问题 如图所示,PA、PB是圆O的切线,切点为A、B.连接AB.在圆上取AB右侧的点C,连接PC交圆O于D.取AP中点M,连接CM交AB与点E,连接DE.求证:DE∥AP
证明:设AB,CD的交点为F,连接BC,AD,AC
则由切割线知△PBD∽△PCB,△PAD∽△PCA
即有PB/PC=PD/PB=BD/BC
PA/PC=PD/PA=AD/AC,又PA=PB
∴PB²/PC²=(BD/BC)·(AD/AC)=(BD/AC)·(AD/BC)
=(DF/AF)·(DF/BF)=DF²/(AF·BF)=DF²/(DF·CF)=DF/CF
而PB²=PD·PC,∴PD/PC=DF/CF
=>DF/PD=CF/PC
又C,E,M为△APF的割线,M为AP中点
∴由梅涅劳斯定理(AM/MP)·(PC/CF)·(FE/EA)=1
可得FE/EA=CF/PC=DF/PD
即DE//AP
连接PQ延长交圆于R点,根据圆锥曲线的性质容易得到D E R三点共线 因为MA^2 =MQ *MC,且角PMC是公共角 所以三角形MPQ相似三角形MCP ==>角C =角MPQ 又因为角C= 角QRD ==>角MPQ= 角QRD ==>DR//PA ==>DE∥AP
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