已知函数f(x)=1/2ax^2+2x,g(x)lnx(1)求函数y=xg(x)-2x的单调区间(2)若y=f(x)在[1,+无穷]上是单调增区间 求a的取值范围.(3)是否存在实数a>0使得方程g(x)/x=f(x)'-(2a+1)在区间(1/e,e)内有且只有2个不相等的实数
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/04 02:58:06
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已知函数f(x)=1/2ax^2+2x,g(x)lnx(1)求函数y=xg(x)-2x的单调区间(2)若y=f(x)在[1,+无穷]上是单调增区间 求a的取值范围.(3)是否存在实数a>0使得方程g(x)/x=f(x)'-(2a+1)在区间(1/e,e)内有且只有2个不相等的实数
已知函数f(x)=1/2ax^2+2x,g(x)lnx
(1)求函数y=xg(x)-2x的单调区间
(2)若y=f(x)在[1,+无穷]上是单调增区间 求a的取值范围.
(3)是否存在实数a>0使得方程g(x)/x=f(x)'-(2a+1)在区间(1/e,e)内有且只有2个不相等的实数根?若存在,请求出a的取值范围.
已知函数f(x)=1/2ax^2+2x,g(x)lnx(1)求函数y=xg(x)-2x的单调区间(2)若y=f(x)在[1,+无穷]上是单调增区间 求a的取值范围.(3)是否存在实数a>0使得方程g(x)/x=f(x)'-(2a+1)在区间(1/e,e)内有且只有2个不相等的实数
(1)y=xlnx-2x y'=lnx+1-2=lnx-1 令y'=0 x=e 0=0在[1,+无穷)上恒成立 1/2ax^2+2x>=0 1/2ax^2>=-2x a>=-4/x 所以 a>=0
(3)lnx/x=ax+2-2a-1 lnx=ax^2-(1-2a)x ax^2+(1-2a)x-lnx=0 令F(x)= ax^2+(1-2a)x-lnx
F'(x)=2ax+1-2a-1/x 令F'(x)=0 x=2a-1/2a 因为x>0 所以2a>1 a>1/2
可知x=2a-1/2a是F(x)的极小值点 若有且只有2个不相等的实数根 只需 F(2a-1/2a)
h(x)=xg(x)-2x=xln(x)-2x,x>0.
h'(x)=ln(x) 1-2=ln(x)-1,
0
f(x)=ax^2/2 2x,
x>=1时,f'(x)=ax 2>=0.
x>=1,a>=0时显然满足要求.
x>=1,a<0时,
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h(x)=xg(x)-2x=xln(x)-2x,x>0.
h'(x)=ln(x) 1-2=ln(x)-1,
0
f(x)=ax^2/2 2x,
x>=1时,f'(x)=ax 2>=0.
x>=1,a>=0时显然满足要求.
x>=1,a<0时,
f'(x)=ax 2>=0,
ax>=-2,
ax>=-2>=-2x, a>=-2.
a的取值范围是a>=-2.
g(x)/x=ln(x)/x = f'(x)-(2a 1)=ax 2-(2a 1)=ax-2a 1, x>0.
ln(x)=ax^2 (1-2a)x,
s(x)=ln(x) - ax^2 (2a - 1)x,
1/e
s'(x)=1/x - 2ax 2a-1 = [-2ax^2 (2a-1)x 1]/x = [-2ax-1][x-1]/x = (2ax 1)(1-x)/x,
1/ee>x>1时,s'(x)<0, s(x)单调递减. s(1)>s(x)>s(e).s(x)在e>x>1上至多有1个实根.
s(1/e)=-1-a/e^2 (2a-1)/e = [(2a-1)e-a-e^2]/e^2 = [a^2 - (a-e)^2 - a - e]/e^2 .
s(e)=1-ae^2 (2a-1)e=1-e ae(2-e)<0.
s(1)=a-1.
要使得s(x)在1/e
也即,
a>1,
0>(2a-1)e-a-e^2=a(2e-1)-e-e^2,
e e^2>a(2e-1),
a<(e e^2)/(2e-1).
(e e^2)/(2e-1)>(e e)/(2e-1)>(2e-1)/(2e-1)=1.
1
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