已知函数f(x)=sin^2x+2sinxcosx+3cos^2x,x属于R,求:(1)求函数f(x)的最大值及其取得最大值的自变量x的集合(2)函数f(x)的单调增区间
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/04 21:49:20
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已知函数f(x)=sin^2x+2sinxcosx+3cos^2x,x属于R,求:(1)求函数f(x)的最大值及其取得最大值的自变量x的集合(2)函数f(x)的单调增区间
已知函数f(x)=sin^2x+2sinxcosx+3cos^2x,x属于R,求:
(1)求函数f(x)的最大值及其取得最大值的自变量x的集合
(2)函数f(x)的单调增区间
已知函数f(x)=sin^2x+2sinxcosx+3cos^2x,x属于R,求:(1)求函数f(x)的最大值及其取得最大值的自变量x的集合(2)函数f(x)的单调增区间
f(x)=sin²x+cos²x+sin2x+2cos²x-1+1
=1+sin2x+cos2x+1
=√2sin(2x+π/4)+2
(1)f(x)的最大值为2+√2,
2x+π/4=π/2+2kπ
2x=π/4+2kπ
x=π/8+kπ
f(x)取最大值时,x的集合为{x|x=π/8+kπ,k∈Z}
(2)递增区间:
-π/2+2kπ
f(x)=(sin^2x+cos^2x)+2cos^2x+sin2x=1+1+cos2x+sin2x=√2sin(2x+#/4)+2. (#表示π)
(1)最大值=2+√2,2x+#/4=2k#+#/2, 所以x=k#+#/8 (k为整数)
(2)2k#-#/2<2x+#/4<2k#+#/2, 所以k#-3#/8
函数的化简过程如上图(如有步骤不明白可以来问我) 最大值是由sin来决定的。无论sin什么,最大值都是1,最小值都是-1. 所以,函数f(x)最大值=2 + √2 ×1 = 2 + √2 我们都知道,sin90°=1是最大的。所以只要sin后面括号里面那个数值=90°,或者是绕了很多360°后再到90°位置,也能够取得同样最大值 当函数取最大值是,sin(2x + π/4)=1 所以, 2x + π/4 = π/2 + 2kπ (90°是π/2,2kπ 是k个2π,也就是k个360°,360°是周期,一周一周都有最大值)k∈Z。属于整数 解得x=π/8 + kπ 第二小题。 同理,要求增区间,先知道sin这个函数原本的增区间是什么。 sin函数原本的增区间是[-π/2,π/2] 考虑周期,很多歌增区间。那么就是[-π/2+ 2kπ ,π/2+ 2kπ ] k∈Z 所以sin括号里面那个东西的范围就限定下来了。既是: -π/2+ 2kπ ≤ 2x + π/4 ≤ π/2+ 2kπ 化简得到: -3π/8+kπ<x<π/8+kπ ,k∈Z