(2013•北京)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形.(2013•北京)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.第二小问用纯几何的方法
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/02 01:33:01
![(2013•北京)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形.(2013•北京)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.第二小问用纯几何的方法](/uploads/image/z/9637955-35-5.jpg?t=%EF%BC%882013%26%238226%3B%E5%8C%97%E4%BA%AC%EF%BC%89%E5%A6%82%E5%9B%BE%2C%E5%9C%A8%E4%B8%89%E6%A3%B1%E6%9F%B1ABC-A1B1C1%E4%B8%AD%2CAA1C1C%E6%98%AF%E8%BE%B9%E9%95%BF%E4%B8%BA4%E7%9A%84%E6%AD%A3%E6%96%B9%E5%BD%A2%EF%BC%8E%EF%BC%882013%26%238226%3B%E5%8C%97%E4%BA%AC%EF%BC%89%E5%A6%82%E5%9B%BE%2C%E5%9C%A8%E4%B8%89%E6%A3%B1%E6%9F%B1ABC-A1B1C1%E4%B8%AD%2CAA1C1C%E6%98%AF%E8%BE%B9%E9%95%BF%E4%B8%BA4%E7%9A%84%E6%AD%A3%E6%96%B9%E5%BD%A2%EF%BC%8E%E5%B9%B3%E9%9D%A2ABC%E2%8A%A5%E5%B9%B3%E9%9D%A2AA1C1C%2CAB%3D3%2CBC%3D5%EF%BC%8E%E7%AC%AC%E4%BA%8C%E5%B0%8F%E9%97%AE%E7%94%A8%E7%BA%AF%E5%87%A0%E4%BD%95%E7%9A%84%E6%96%B9%E6%B3%95)
(2013•北京)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形.(2013•北京)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.第二小问用纯几何的方法
(2013•北京)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形.
(2013•北京)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.第二小问用纯几何的方法做,不要用空间向量,
(2013•北京)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形.(2013•北京)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.第二小问用纯几何的方法
(I)证明:∵AA1C1C是正方形,∴AA1⊥AC.
又∵平面ABC⊥平面AA1C1C,平面ABC∩平面AA1C1C=AC,
∴AA1⊥平面ABC.
(II)由AC=4,BC=5,AB=3.
∴AC2+AB2=BC2,∴AB⊥AC.
建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(0,0,4),B(0,3,0),B1(0,3,4),C1(4,0,4),
∴
BC1
=(4,−3,4),
BA1
=(0,−3,4),
BB1
=(0,0,4).
设平面A1BC1的法向量为
n1
=(x1,y1,z1),平面B1BC1的法向量为
n2
=(x2,y2,z2).
则
n1
•
BC1
=4x1−3y1+4z1=0
n1
•
BA1
=−3y1+4z1=0
,令y1=4,解得x1=0,z1=3,∴
n1
=(0,4,3).
n2
•
BC1
=4x2−3y2+4z2=0
n2
•
BB1
=4z2=0
,令x2=3,解得y2=4,z2=0,∴
n2
=(3,4,0).
cos<
n1
,
n2
>=
n1
•
n2
|
n1
| |
n2
|
=
16
25
•
25
=
16
25
.
∴二面角A1-BC1-B1的余弦值为
16
25
.
(III)设点D的竖坐标为t,(0<t<4),在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E,可得D(t,
3
4
(4−t),t),
∴
AD
=(t,
3
4
(4−t),t),
A1B
=(0,3,-4),
∵
AD
⊥
A1B
,∴
AD
•
A1B
=0,
∴0+
9
4
(4−t)−4t=0,解得t=
36
25
.
∴
BD
BC1
=
DE
CC1
=
9
25
.