用数学归纳法证明:若f(n)=1+1/2+1/3+...+1/n,则n+f(1)+f(2)+...+f(n-1)=nf(n)(n大于等于2,n∈N+
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/04 15:05:41
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用数学归纳法证明:若f(n)=1+1/2+1/3+...+1/n,则n+f(1)+f(2)+...+f(n-1)=nf(n)(n大于等于2,n∈N+
用数学归纳法证明:若f(n)=1+1/2+1/3+...+1/n,则n+f(1)+f(2)+...+f(n-1)=nf(n)(n大于等于2,n∈N+
用数学归纳法证明:若f(n)=1+1/2+1/3+...+1/n,则n+f(1)+f(2)+...+f(n-1)=nf(n)(n大于等于2,n∈N+
1.当n=2时,等式显然成立.
2.假定当n=k时,等式成立.即k+f(1)+f(2)+...+f(k-1)=kf(k);
当n=k+1时,左边=(k+1)+f(1)+f(2)+...+f(k-1)+f(k)
=1+kf(k)+f(k)(根据上述假定)
=1+(k+1)f(k);
右边=(k+1)f(k+1)
=(k+1)(f(k)+1/(k+1))
=1+(k+1)f(k);
左边=右边 因此该等式在n=k+1时也成立.
综上,命题得证.
f(n)=1+1/2+1/3+...+1/n
f(n)=f(n-1)+1/n
证明:(1)
f(1)=1
f(2)=1+1/2
2f(2)=2(1+1/2)=3
2+f(1)=2+1=3
2+f(1)=2f(2) n=2时成立
(2)
设n=k时成立
k+f(1)+f(2)+...+f(k-1)=kf(k) (k≥...
全部展开
f(n)=1+1/2+1/3+...+1/n
f(n)=f(n-1)+1/n
证明:(1)
f(1)=1
f(2)=1+1/2
2f(2)=2(1+1/2)=3
2+f(1)=2+1=3
2+f(1)=2f(2) n=2时成立
(2)
设n=k时成立
k+f(1)+f(2)+...+f(k-1)=kf(k) (k≥2)
则n=k+1时
左边=(k+1)+f(1)+f(2)+...+f(k-1)+f(k)
=[k+f(1)+f(2)+...+f(k-1)]+f(k)+1
=kf(k)+f(k)+1
=(k+1)f(k)+1
右边=(k+1)f(k+1)
=(k+1)[f(k)+1/(k+1)]
=(k+1)f(k)+1
左边=右边
所以
n+f(1)+f(2)+...+f(n-1)=nf(n)(n≥2)成立
收起
1.当n=2时,有f(1)=1, f(2)=1+1/2, 2f(2)=3=2+f(1)
上式显然成立
2.假设n大于等于2时,nf(n)=n+f(1)+f(2)+…+f(n-1) 成立,
则有(n+1)f(n+1)= (n+1)* (1+1/2+1/3+1/4+…+1/n-1+1/n)
=n*(1+1...
全部展开
1.当n=2时,有f(1)=1, f(2)=1+1/2, 2f(2)=3=2+f(1)
上式显然成立
2.假设n大于等于2时,nf(n)=n+f(1)+f(2)+…+f(n-1) 成立,
则有(n+1)f(n+1)= (n+1)* (1+1/2+1/3+1/4+…+1/n-1+1/n)
=n*(1+1/2+…+1/n) + (1+1/2+…+1/n) + n*(1/n+1) +(1/n+1)
=nf(n) + f(n) + 1
=f(1) +f(2) +f(3)+ …+f(n)+(n+1)
综上,n=2时,上式成立,
n大于2时,由递推关系知,上式也成立;
故上式对n(n大于等于2,n∈N+)恒成立
收起