试求函数f(x)=sinx+cosx+2asinxcosx,在x∈[0,π/2]上的最小值h(a)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/27 03:03:32
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试求函数f(x)=sinx+cosx+2asinxcosx,在x∈[0,π/2]上的最小值h(a)
试求函数f(x)=sinx+cosx+2asinxcosx,在x∈[0,π/2]上的最小值h(a)
试求函数f(x)=sinx+cosx+2asinxcosx,在x∈[0,π/2]上的最小值h(a)
令sinx+cosx=√2sin(π/4+x)=t∈【0,√2】
(sinx+cosx)^2=1+2sinxcosx
f(x)=t+a*(t^2-1)
=at^2+t-a
=a(t+1/2a)^2-5/4a
a>0时 显然t=0时有最小值h(a)=-5/4a
a=0时 f(x)=t 最小值h(a)为-√2
a0
当-1/2a< √2/2时,即a√2/2时 即a>-√2/2 t取0时有最小值=-a
以上
先求导:f'(x)=cosx-sinx+2acos²x-2asin²x
=cosx-sinx+2a(cosx-sinx)(cosx+sinx)
=2a(cosx-sinx)(cosx+sinx+1)
因为在【0,π/2】上,cosx sinx都>1,所以它们相加再加1不可能等于0,所以是cosx-sin...
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先求导:f'(x)=cosx-sinx+2acos²x-2asin²x
=cosx-sinx+2a(cosx-sinx)(cosx+sinx)
=2a(cosx-sinx)(cosx+sinx+1)
因为在【0,π/2】上,cosx sinx都>1,所以它们相加再加1不可能等于0,所以是cosx-sinx=0,即cosx=sinx,此时x=π/4
当a=0时,最小值在x=0或x=π/2时取得,为1。
当a<0时,当x<π/4时,f'(x)<0,递减
当x>π/4时,f'(x)>0,递增
将x=π/4代入原式f(x)即为此时的最小值h(a)=√2+a
当a>0时,x=π/4是最大值,所以最小值在x=0或x=π/2时取得
此时h(a)=1
综上,……
还有什么不清楚的可以交流哦~~~~
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