设函数f(x)=(x-1)²+blnx,其中b为常数1.当b>1/2时,判断函数f(x)在定义域上的单调性2.b≤0时,求f(x)的极值点3.求证对任意不小于3的正整数n,不等式ln(n+1)-ln n>1/n²都成立
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/01 07:08:09
![设函数f(x)=(x-1)²+blnx,其中b为常数1.当b>1/2时,判断函数f(x)在定义域上的单调性2.b≤0时,求f(x)的极值点3.求证对任意不小于3的正整数n,不等式ln(n+1)-ln n>1/n²都成立](/uploads/image/z/8698652-44-2.jpg?t=%E8%AE%BE%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%3D%28x-1%29%26sup2%3B%2Bblnx%2C%E5%85%B6%E4%B8%ADb%E4%B8%BA%E5%B8%B8%E6%95%B01.%E5%BD%93b%EF%BC%9E1%2F2%E6%97%B6%2C%E5%88%A4%E6%96%AD%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%E5%9C%A8%E5%AE%9A%E4%B9%89%E5%9F%9F%E4%B8%8A%E7%9A%84%E5%8D%95%E8%B0%83%E6%80%A72.b%E2%89%A40%E6%97%B6%2C%E6%B1%82f%28x%29%E7%9A%84%E6%9E%81%E5%80%BC%E7%82%B93.%E6%B1%82%E8%AF%81%E5%AF%B9%E4%BB%BB%E6%84%8F%E4%B8%8D%E5%B0%8F%E4%BA%8E3%E7%9A%84%E6%AD%A3%E6%95%B4%E6%95%B0n%2C%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8Fln%EF%BC%88n%2B1%29-ln+n%EF%BC%9E1%2Fn%26sup2%3B%E9%83%BD%E6%88%90%E7%AB%8B)
设函数f(x)=(x-1)²+blnx,其中b为常数1.当b>1/2时,判断函数f(x)在定义域上的单调性2.b≤0时,求f(x)的极值点3.求证对任意不小于3的正整数n,不等式ln(n+1)-ln n>1/n²都成立
设函数f(x)=(x-1)²+blnx,其中b为常数
1.当b>1/2时,判断函数f(x)在定义域上的单调性
2.b≤0时,求f(x)的极值点
3.求证对任意不小于3的正整数n,不等式ln(n+1)-ln n>1/n²都成立
设函数f(x)=(x-1)²+blnx,其中b为常数1.当b>1/2时,判断函数f(x)在定义域上的单调性2.b≤0时,求f(x)的极值点3.求证对任意不小于3的正整数n,不等式ln(n+1)-ln n>1/n²都成立
上面网友真厉害,扯牛顿身上
(1)函数f(x)=(x-1)^2+blnx
x>0函数求导:
f'(x)=2x-2+b/x=[2(x-1/2)^2+(b-1/2)]/x
当b>1/2时
2(x-1/2)^2>=0
b-1/2>0
f'(x)恒大于0因此,函数f(x)在定义域(x>0)上单调递增.
(2)若函数f(x)有极值点
f'(x)=0
x1=[1+√(1-2b)]/2
x2=[1-√(1-2b)]/2
由于x2
已知函数f(x)=(x-1)²+blnx,其中b为常数
1.f'(x)=2x-2+b/x=(2x²-2x+b)/x,(x>0)
当b>1/2时,△=2²-4*2*b<0
所以,f'(x)恒大于0
所以,f(x)恒为增函数
2.f'(x)=2x-2+b/x=(2x²-2x+b)/x,(x>0)
令f'(x)=0得...
全部展开
已知函数f(x)=(x-1)²+blnx,其中b为常数
1.f'(x)=2x-2+b/x=(2x²-2x+b)/x,(x>0)
当b>1/2时,△=2²-4*2*b<0
所以,f'(x)恒大于0
所以,f(x)恒为增函数
2.f'(x)=2x-2+b/x=(2x²-2x+b)/x,(x>0)
令f'(x)=0得
2x²-2x+b=0,(x>0)
解得
x1=(1-√(1-2b))/2(x1<0,舍去)
x2=(1+√(1-2b))/2
所以,
f(x)的极小点为(1+√(1-2b))/2
3.令b=-1
则f(x)=(x-1)²-lnx
求导得f'(x)=(2x²-2x-1)/x
由第2小问知,
f(x)在(0,(1+√3)/2)上递减,在((1+√3)/2,+∞)递增
又因为,f(1)=0,f(4/3)<0
所以,知f(x)在(1,4/3]上恒有f(x)<0
当n≥3时,(n+1)/n∈(1,4/3]
所以,
f((n+1)/n)<0
即((n+1)/n-1)²-ln((n+1)/n)<0
即1/n²<ln((n+1)/n)=ln(n+1)-ln n
得ln(n+1)-ln n>1/n²
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