斜率为1的直线l与椭圆x^2/+2y^2=4交于A,B两点,O为原点,使三角形ABO的面积最大求l方程
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/30 23:53:35
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斜率为1的直线l与椭圆x^2/+2y^2=4交于A,B两点,O为原点,使三角形ABO的面积最大求l方程
斜率为1的直线l与椭圆x^2/+2y^2=4交于A,B两点,O为原点,使三角形ABO的面积最大
求l方程
斜率为1的直线l与椭圆x^2/+2y^2=4交于A,B两点,O为原点,使三角形ABO的面积最大求l方程
因为斜率为1,设直线方程为:y=x+b
直线与椭圆x^2+2*y^2=4相交,
将直线方程带入椭圆方程得:x^2+2*(x+b)^2=4
则:3*x^2+4bx+2b^2-4=0
由于方程的两个根为直线交与椭圆两点的横坐标,
三角形ABO的面积为:
S =|b|*|x1-x2|/2
=|b|*{1/3*根号[16b^2-4*3*(2b^2-4)]}/2
=|b|*根号(48-8b^2)/6=| b|*根号(6-b^2)*根号(2)/3
求S对b的导数为0的b的值:
令:dS/db= 0
即:±[根号(6-b^2)+b*1/2*(-2b)/根号(6-b^2)]*根号(2)/3=0
则:±[根号(6-b^2)-b^2/根号(6-b^2)]*根号(2)/3=0
(6-b^2)-b^2=0
b^2=3
b=±根号(3)
1)当b=根号(3)时,S对b的二阶导数为:
d(dS/db)/db=d{ [根号(6-b^2)-b^2/根号(6-b^2)]*根号(2)/3}/db
={1/2*(-2b)/根号(6-b^2)-2b/根号(6-b^2)-b^2*(-1/2)*(-2b)/[根号(6-b^2)^3}*根号(2)/3
={-b/根号(6-b^2)-2b/根号(6-b^2)-b^3/[根号(6-b^2)]^3}*根号(2)/3
=[-3b*(6-b^2)-b^3] /[根号(6-b^2)]^3*根号(2)/3
=-4*根号(2)/3