已知圆C:x²+y²-2x+4y-4=0,是否存在斜率为1的直线L,使L被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点,若存在求出直线L的方程,若不存在说明理由.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/05 20:43:35
![已知圆C:x²+y²-2x+4y-4=0,是否存在斜率为1的直线L,使L被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点,若存在求出直线L的方程,若不存在说明理由.](/uploads/image/z/8624425-49-5.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E5%9C%86C%EF%BC%9Ax%26%23178%3B%2By%26%23178%3B-2x%2B4y-4%3D0%2C%E6%98%AF%E5%90%A6%E5%AD%98%E5%9C%A8%E6%96%9C%E7%8E%87%E4%B8%BA1%E7%9A%84%E7%9B%B4%E7%BA%BFL%2C%E4%BD%BFL%E8%A2%AB%E5%9C%86C%E6%88%AA%E5%BE%97%E7%9A%84%E5%BC%A6AB%E4%B8%BA%E7%9B%B4%E5%BE%84%E7%9A%84%E5%9C%86%E8%BF%87%E5%8E%9F%E7%82%B9%2C%E8%8B%A5%E5%AD%98%E5%9C%A8%E6%B1%82%E5%87%BA%E7%9B%B4%E7%BA%BFL%E7%9A%84%E6%96%B9%E7%A8%8B%2C%E8%8B%A5%E4%B8%8D%E5%AD%98%E5%9C%A8%E8%AF%B4%E6%98%8E%E7%90%86%E7%94%B1%EF%BC%8E)
已知圆C:x²+y²-2x+4y-4=0,是否存在斜率为1的直线L,使L被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点,若存在求出直线L的方程,若不存在说明理由.
已知圆C:x²+y²-2x+4y-4=0,是否存在斜率为1的直线L,使L被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点,若存在求出直线L的方程,若不存在说明理由.
已知圆C:x²+y²-2x+4y-4=0,是否存在斜率为1的直线L,使L被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点,若存在求出直线L的方程,若不存在说明理由.
x²-2x+1+y²+4y+4=9
(x-1)²+(y+2)²=3²
圆心(1,-2),半径r=3
设AB直线方程为 x-y+t=0
那么垂直于AB直线的半径斜率为 -1,可写出这条半径的方程为:y+2=-(x-1),即x+y+1=0
它们的交点就是以AB为直径的圆的圆心,可得出圆心坐标为:D( -(t+1)/2,(t-1)/2 )
C到AB距离为:∣1+2+t∣/√2;圆C的半径为3
根据勾股定理,(AB/2)² = 9 -(t+3)²/2 = (9-6t-t²)/2,(AB/2)即是所求圆D的半径
OD² = (t²+2t+1+t²-2t+1)/4 = (t²+1)/2
因为 OD²=(AB/2)²
所以 t²+1 = -t²-6t+9
所以 2t²+6t-8 = 0
所以 t²+3t-4 = 0
所以 t=-4 或者 t=1
所以 AB方程为 x-y+1=0 或者 x-y-4=0
检验:
(1).x-y+1=0,即y=x+1
代入圆方程:(x-1)²+(x+3)²=9
x²-2x+1+x²+6x+9=9
2x²+4x+1=0
x=(-2±√2)/2
即A( (-2+√2)/2,√2/2 ),B( (-2-√2)/2,-√2/2 )
所以 D(-1,0),AB=2
所以 AB/2 = OD,成立
(2).x-y-4=0,即y=x-4
代入圆方程:(x-1)²+(x-2)²=9
x²-2x+1+x²-4x+4=9
x²-3x-2=0
x=(3±√17)/2
即A( (3+√17)/2,(-5+√17)/2 ),B( (3-√17)/2,(-5-√17)/2 )
所以 D(3/2,-5/2),AB=√34
所以 AB/2 = OD,成立