过双曲线x²/a²-y²/5-b²=1(a>0)右焦点F作两条直线,当斜率为2时,直线与与双曲线左右两支各有一个焦点;当斜率为3时,直线与双曲线优质有两个不同交点,则双曲线离心率取值范
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/04 06:42:00
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过双曲线x²/a²-y²/5-b²=1(a>0)右焦点F作两条直线,当斜率为2时,直线与与双曲线左右两支各有一个焦点;当斜率为3时,直线与双曲线优质有两个不同交点,则双曲线离心率取值范
过双曲线x²/a²-y²/5-b²=1(a>0)右焦点F作两条直线,当斜率为2时,直线与与双曲线左右两支各有一个焦点;当斜率为3时,直线与双曲线优质有两个不同交点,则双曲线离心率取值范围()
A.(√2,5)
B.(√5,10)
C.(5,5√2)
D.(1,√2)
过双曲线x²/a²-y²/5-b²=1(a>0)右焦点F作两条直线,当斜率为2时,直线与与双曲线左右两支各有一个焦点;当斜率为3时,直线与双曲线优质有两个不同交点,则双曲线离心率取值范
解前分析:
①双曲线x²/a² - y²/(5-b²) = 1(a>0)表示中心在原点,图像关于x,y轴对称的双曲线;
②对于双曲线x²/a² - y²/b² = 1,其渐近线方程为:y = ±(b/a)x ;
③双曲线x²/a² - y²/b² = 1 的离心率e = c/a 且e∈(1,+∞);
④双曲线的两支无限趋近于其渐近线.
本题中的双曲线x²/a² - y²/(5-b²) = 1(a>0),
其渐近线方程为:y = ±[√(5-b²)/a] x ,
(1)
∵过其右焦点、斜率为2的直线与该双曲线左右两支各有一个交点,
∴其渐近线的斜率的绝对值应大于2.
∴√(5-b²)/a > 2
∴(5-b²)/a² > 4
∴ 5-b² > 4a²
∴c² = a² + (5-b²) > 5a²
∴ c²/a² > 5
∴ c/a > √5
即:e > √5
(2)
∵过其右焦点、斜率为3的直线与该双曲线的右支有两个不同交点,
∴其渐近线的斜率的绝对值应小于3.
∴√(5-b²)/a < 3
∴(5-b²)/a² < 9
∴ 5-b² < 9a²
∴c² = a² + (5-b²) < 10a²
∴ c²/a² < 10
∴ c/a < √10
即:e < √10
综上(1)(2),知该双曲线离心率取值范围为(√5,√10).
注:本题原答案如果刻意选B,那么答案B中的10应该更改为√10.