已知函数f(x)=x/(x+1),若数列{an}:a1=1,an+1=f(an),求{an}的通项公式,若满足{cn}=2^n/an,求{cn}前n项
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/06 13:27:42
![已知函数f(x)=x/(x+1),若数列{an}:a1=1,an+1=f(an),求{an}的通项公式,若满足{cn}=2^n/an,求{cn}前n项](/uploads/image/z/7108583-23-3.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%3Dx%2F%28x%2B1%29%2C%E8%8B%A5%E6%95%B0%E5%88%97%7Ban%7D%EF%BC%9Aa1%3D1%2Can%2B1%3Df%28an%29%2C%E6%B1%82%7Ban%7D%E7%9A%84%E9%80%9A%E9%A1%B9%E5%85%AC%E5%BC%8F%2C%E8%8B%A5%E6%BB%A1%E8%B6%B3%7Bcn%7D%3D2%5En%EF%BC%8Fan%2C%E6%B1%82%7Bcn%7D%E5%89%8Dn%E9%A1%B9)
已知函数f(x)=x/(x+1),若数列{an}:a1=1,an+1=f(an),求{an}的通项公式,若满足{cn}=2^n/an,求{cn}前n项
已知函数f(x)=x/(x+1),若数列{an}:a1=1,an+1=f(an),求{an}的通项公式,若满足{cn}=2^n/an,求{cn}前n项
已知函数f(x)=x/(x+1),若数列{an}:a1=1,an+1=f(an),求{an}的通项公式,若满足{cn}=2^n/an,求{cn}前n项
a(n+1)=an/(an+3).整理得
1/a(n+1)=3/an +1
令1/an=bn,b1=a1=1
b(n+1)=3bn+1
b(n+1)+1/2=3(bn+1/2)
令bn+1/2=Tn,T1=b1+1/2=3/2
Tn=3/2.3^(n-1)
bn=3/2.3^(n-1)-1/2
an=1/(3/2.3^(n-1)-1/2)
(1)an+1=an/(an+1), 求倒数,1/an+1=(an+1)/an
=1+1/an,所以1/an+1-1/an=1,所以数列1/an是等差数列,公差为1,1/an=1/a1+(n-1)*1=n,所以an=1/n
(2)cn=2^n/an=n*2^n
用错位相减法求数列cn的前n项和,可得
和=2+(n-1)2^(n+1)
∵a(n+1)=f(an)=an/(1+an)
两边取倒数
1/a(n+1)=(1/an)+1
∴{1/an}是一个首项为1/a1=1,公差为1的等差数列,
∴1/an=n
∴an=1/n
又cn=2^n/an=n·2^n,其前n项和设为Tn
则Tn=1·2+2·4+3·8+…+n·2^n ①
2Tn...
全部展开
∵a(n+1)=f(an)=an/(1+an)
两边取倒数
1/a(n+1)=(1/an)+1
∴{1/an}是一个首项为1/a1=1,公差为1的等差数列,
∴1/an=n
∴an=1/n
又cn=2^n/an=n·2^n,其前n项和设为Tn
则Tn=1·2+2·4+3·8+…+n·2^n ①
2Tn= 1·4+2·8+…+(n-1)·2^n+n·2^(n+1) ② (错位想减)
②-①,Tn=n·2^(n+1)-1·2-1·4-1·8-…-1·2^n
=n·2^(n+1)-(2^(n+1)-2)
=(n-1) ·2^(n+1)+2
收起