已知函数f(x)=x-q分之px平方+2,对定义域的所有x都满足f(x)+f(-x)=0,f(2)=5 (1)求实数p,q的值(2)判断函数f(x)在【1,正无穷大)上的单调性,并证明.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/04 12:13:17
![已知函数f(x)=x-q分之px平方+2,对定义域的所有x都满足f(x)+f(-x)=0,f(2)=5 (1)求实数p,q的值(2)判断函数f(x)在【1,正无穷大)上的单调性,并证明.](/uploads/image/z/7022775-39-5.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%3Dx-q%E5%88%86%E4%B9%8Bpx%E5%B9%B3%E6%96%B9%2B2%2C%E5%AF%B9%E5%AE%9A%E4%B9%89%E5%9F%9F%E7%9A%84%E6%89%80%E6%9C%89x%E9%83%BD%E6%BB%A1%E8%B6%B3f%28x%29%2Bf%28-x%29%3D0%2Cf%282%29%3D5+%281%29%E6%B1%82%E5%AE%9E%E6%95%B0p%2Cq%E7%9A%84%E5%80%BC%EF%BC%882%EF%BC%89%E5%88%A4%E6%96%AD%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%E5%9C%A8%E3%80%901%2C%E6%AD%A3%E6%97%A0%E7%A9%B7%E5%A4%A7%EF%BC%89%E4%B8%8A%E7%9A%84%E5%8D%95%E8%B0%83%E6%80%A7%2C%E5%B9%B6%E8%AF%81%E6%98%8E.)
已知函数f(x)=x-q分之px平方+2,对定义域的所有x都满足f(x)+f(-x)=0,f(2)=5 (1)求实数p,q的值(2)判断函数f(x)在【1,正无穷大)上的单调性,并证明.
已知函数f(x)=x-q分之px平方+2,对定义域的所有x都满足f(x)+f(-x)=0,f(2)=5 (1)求实数p,q的值
(2)判断函数f(x)在【1,正无穷大)上的单调性,并证明.
已知函数f(x)=x-q分之px平方+2,对定义域的所有x都满足f(x)+f(-x)=0,f(2)=5 (1)求实数p,q的值(2)判断函数f(x)在【1,正无穷大)上的单调性,并证明.
(1)f(x)=(px²+2)/(x-q)
∵f(x)+f(-x)=0
∴f(x)是奇函数
∴f(-x)+f(x)=0
∴(px²+2)/(x-q)+(px²+2)/(-x-q)
=(px²+2)[1/(x-q)-1/(x+q)
=2q(px²+2)/(x-q)(x+q)
=0
∵px²+2不是一个定值
∴q=0
∵f(2)=(4p+2)/(2-q)=5
∴4p+5q=8
∴p=2,q=0
(2)f(x)=(2x²+2)/x
f(x)在[1,+无穷)上单调递增
证明:任取x1,x2∈[1,正无穷),x1<x2
f(x1)-f(x2)=(2x1²+2)/x1-(2x2²+2)/x2
=2(x1²x2+x2-x2²x1-x1)/x1x2
=2[x1x2(x1-x2)+(x2-x1)]/x1x2
=2(x1-x2)(x1x2-1)/x1x2
∵1≤x1<x2
∴x1-x2<0,x1x2>1,x1x2>0
∴f(x1)-f(x2)<0
∴f(x1)<f(x2)
∴f(x)在[1,+无穷)上单调递增
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