a3+b3+c3≥3abc,(a,b,c>0),a3表示a的3次方,此不等式是否成立?若成立,请证明
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/28 09:51:38
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a3+b3+c3≥3abc,(a,b,c>0),a3表示a的3次方,此不等式是否成立?若成立,请证明
a3+b3+c3≥3abc,(a,b,c>0),a3表示a的3次方,此不等式是否成立?若成立,请证明
a3+b3+c3≥3abc,(a,b,c>0),a3表示a的3次方,此不等式是否成立?若成立,请证明
“^”代表次方
成立
证明:
a^3+b^3+c^3
=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c^3
=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3
=(a+b+c)^3-3c(a+b)(a+b+c)-3ab(a+b)
=(a+b+c)^3-3c(a+b)(a+b+c)-3ab(a+b+c)+3abc
=(a+b+c)[(a+b+c)^2-3c(a+b)-3ab]+3abc
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac-3ac-3bc-3ab)+3abc
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)+3abc
=0.5(a+b+c)(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc)+3abc
=0.5(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]+3abc≥3abc
∵0.5(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]≥0
∴a^3+b^3+c^3≥3abc
成立,证:
(1)a^3+b^3+c^3-3abc
=(a+b)^3+c^3-3ba^2-3ab^2-3abc
=(a+b+c)[(a+b)^2-(a+b)c+c^2-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)
=1/2(a+b+c)[(a...
全部展开
成立,证:
(1)a^3+b^3+c^3-3abc
=(a+b)^3+c^3-3ba^2-3ab^2-3abc
=(a+b+c)[(a+b)^2-(a+b)c+c^2-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)
=1/2(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]
a+b+c>0,[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]>=0
1/2(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]>=0
(a"=a^1/3)
(2)(反证法)假设a^3+b^3+c^3<3abc
则a"^3+b"^3+c"^3<3a"*b"*c"
a+b+c<3(abc)"
(a+b+c)/3<3(abc)"
与基本不等式(a+b+c)/3<3(abc)"(a+b+cE R+)矛盾
所以a^3+b^3+c^3>=3abc
收起