四棱锥P-ABCD中,PA垂直底面ABCD,底面ABCD为梯形,AB平行DC,角ABC和角CAD是90度,且PA=AB=BC,点E是棱PB上的动点,(1)当PD平行平面EAC时,确定点E在棱PB上的什么位置.(2)在条件(1)下,求二面角A-CE-P的余弦值.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/02 17:44:21
![四棱锥P-ABCD中,PA垂直底面ABCD,底面ABCD为梯形,AB平行DC,角ABC和角CAD是90度,且PA=AB=BC,点E是棱PB上的动点,(1)当PD平行平面EAC时,确定点E在棱PB上的什么位置.(2)在条件(1)下,求二面角A-CE-P的余弦值.](/uploads/image/z/6093975-39-5.jpg?t=%E5%9B%9B%E6%A3%B1%E9%94%A5P-ABCD%E4%B8%AD%2CPA%E5%9E%82%E7%9B%B4%E5%BA%95%E9%9D%A2ABCD%2C%E5%BA%95%E9%9D%A2ABCD%E4%B8%BA%E6%A2%AF%E5%BD%A2%2CAB%E5%B9%B3%E8%A1%8CDC%2C%E8%A7%92ABC%E5%92%8C%E8%A7%92CAD%E6%98%AF90%E5%BA%A6%2C%E4%B8%94PA%3DAB%3DBC%2C%E7%82%B9E%E6%98%AF%E6%A3%B1PB%E4%B8%8A%E7%9A%84%E5%8A%A8%E7%82%B9%2C%281%29%E5%BD%93PD%E5%B9%B3%E8%A1%8C%E5%B9%B3%E9%9D%A2EAC%E6%97%B6%2C%E7%A1%AE%E5%AE%9A%E7%82%B9E%E5%9C%A8%E6%A3%B1PB%E4%B8%8A%E7%9A%84%E4%BB%80%E4%B9%88%E4%BD%8D%E7%BD%AE.%282%29%E5%9C%A8%E6%9D%A1%E4%BB%B6%281%29%E4%B8%8B%2C%E6%B1%82%E4%BA%8C%E9%9D%A2%E8%A7%92A-CE-P%E7%9A%84%E4%BD%99%E5%BC%A6%E5%80%BC.)
四棱锥P-ABCD中,PA垂直底面ABCD,底面ABCD为梯形,AB平行DC,角ABC和角CAD是90度,且PA=AB=BC,点E是棱PB上的动点,(1)当PD平行平面EAC时,确定点E在棱PB上的什么位置.(2)在条件(1)下,求二面角A-CE-P的余弦值.
四棱锥P-ABCD中,PA垂直底面ABCD,底面ABCD为梯形,AB平行DC,角ABC和角CAD是90度,且PA=AB=BC,点E是棱PB上的动
点,(1)当PD平行平面EAC时,确定点E在棱PB上的什么位置.
(2)在条件(1)下,求二面角A-CE-P的余弦值.
四棱锥P-ABCD中,PA垂直底面ABCD,底面ABCD为梯形,AB平行DC,角ABC和角CAD是90度,且PA=AB=BC,点E是棱PB上的动点,(1)当PD平行平面EAC时,确定点E在棱PB上的什么位置.(2)在条件(1)下,求二面角A-CE-P的余弦值.
作AF⊥CD于F点
以A为原点,向量AB,向量AF,向量AP方向分别为X,Y,Z轴建立空间直角坐标系.
设AP=1
则A(0,0,0) B(1,0,0) C(1,1,0) P(0,0,1)
D(-1,1,0) ……(据平面几何求出)
∵E在棱PB,向量PB=(1,0,-1) 又设向量PE=λ向量PB λ∈[0,1]
∴向量PE=(λ,0,-λ)
(1)
向量PD=(-1,1,-1),向量AC=(1,1,0) 向量PA=(0,0,-1)
向量AE=向量PE-向量PA=(λ,0,-λ+1)
设面EAC法向量为向量n(x,y,z)
则向量n×向量AC=0
向量n×向量PE=0
∴x+y=0;λx-λz+z=0
令x=1,则y=-1;z=λ/(λ-1)
∴为了方便计算(去分母而已),向量n可以为(λ-1,1-λ,λ)
令向量n×向量PD=0
即1-λ+1-λ-λ=0
λ=2/3
∴点E在靠近B点的PB三等分点.
(2)
由(1)可知向量n=(-1/3,1/3,2/3)
为了方便计算(去分母而已),向量n可以为(-1,1,2)
同理求出面PEC的法向量m=(-1,0,-1)
∴cos<向量m,向量n>=(向量m×向量n)的绝对值/(向量m的模×向量n的模)
=(√3)/6
∴二面角A-CE-P的余弦值为(√3)/6
(1)连接BD,交AC于点O,连接EO,令PA=AB=BC=a,
因为AB∥DC,∠ABC=∠CAD=∠BCD=90°,
所以AC=√2*AB=√2*a,CD=√2*AC=2a,
则BO/DO=AB/CD=a/2a=1/2,
当PD平行平面EAC时,EO∥PD,
所以BE/PE=BO/DO=1/2,
所以点E在靠近B点的PB三等分点上;
(2...
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(1)连接BD,交AC于点O,连接EO,令PA=AB=BC=a,
因为AB∥DC,∠ABC=∠CAD=∠BCD=90°,
所以AC=√2*AB=√2*a,CD=√2*AC=2a,
则BO/DO=AB/CD=a/2a=1/2,
当PD平行平面EAC时,EO∥PD,
所以BE/PE=BO/DO=1/2,
所以点E在靠近B点的PB三等分点上;
(2)因为PA⊥面ABCD,所以面PAC⊥面ABCD,
则点B到AC的距离h1为点B到面PAC的距离,
所以h1=AB*√2/2=a*√2/2,
则点E到面PAC的距离h2/h1=PE/PB=2/3,
所以h1=a*√2/3,
因为PA⊥面ABCD,
所以点E到面ABCD的距离L1/PA=BE/PB=1/3
所以L1=a/3,
根据勾股定理可得,点E到AC的距离L2=a*√3/3,
所以二面角A-CE-P的余弦值=L1/L2=√3/3.
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