正方形ABCD中,E,F分别在AD,DC上,∠ABE=∠CBF=15°,G是AD上另一点,且∠BGD=120°,连接EF,BG,FG,EF与BG交于点H.求证:BG=EG+FG
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/02 01:37:45
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正方形ABCD中,E,F分别在AD,DC上,∠ABE=∠CBF=15°,G是AD上另一点,且∠BGD=120°,连接EF,BG,FG,EF与BG交于点H.求证:BG=EG+FG
正方形ABCD中,E,F分别在AD,DC上,∠ABE=∠CBF=15°,G是AD上另一点,且∠BGD=120°,连接EF,BG,FG,EF与BG交于点H.
求证:BG=EG+FG
正方形ABCD中,E,F分别在AD,DC上,∠ABE=∠CBF=15°,G是AD上另一点,且∠BGD=120°,连接EF,BG,FG,EF与BG交于点H.求证:BG=EG+FG
证明:为了方便起见,设∠ABE=∠1,∠EBG=∠2......如图。再设AE=x,EG=n,DG=m. 根据题意知:∠1=∠4=15°,∠BGD=120° 可证明:△ABE≌△CBF,得AE=FC 所以:DE=DF 所以:△DEF是等腰直角三角形,即∠5+∠6=45° 所以:求得∠8=60° 而由∠BGD=120°求得∠7=60° 所以:BFGE四点共元 有:∠5=∠2 而∠2=90°-∠1-∠7=90°-15°-60°=15° 所以:∠5=15° 所以:∠6=30° 所以:FG=2DG=2m 过B作BM⊥FG,垂足为M, 由于∠5+∠8=15°+60°=75°知∠3=15° 所以:BF平分∠MBC 所以:MF=CF=AF=x, 所以:BG=2(x+n)-----------------------------① FG+GE=2m+n----------------------------------② 由于:∠9=30° 所以:BG=2GM=2(2m-x)-------------------③ 由①和③得:2x=2m-n 所以:BG=2(2m-x)=4m-2x=4m-(2m-n)=2m+n 所以:BG=FG+GE