三角形ABC是等腰直角三角形,角ACB=90度,AD是BC边上的中线,过C作AD的垂线,交AB于点E交AD于点F请你猜想角ADC和角BDE的关系,并证明你的猜想
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/01 06:16:36
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三角形ABC是等腰直角三角形,角ACB=90度,AD是BC边上的中线,过C作AD的垂线,交AB于点E交AD于点F请你猜想角ADC和角BDE的关系,并证明你的猜想
三角形ABC是等腰直角三角形,角ACB=90度,AD是BC边上的中线,过C作AD的垂线,交AB于点E交AD于点F
请你猜想角ADC和角BDE的关系,并证明你的猜想
三角形ABC是等腰直角三角形,角ACB=90度,AD是BC边上的中线,过C作AD的垂线,交AB于点E交AD于点F请你猜想角ADC和角BDE的关系,并证明你的猜想
关系为:∠ADC=∠BDE
证明:
作BM垂直BC,交CE的延长线于M,则∠MBE=∠DBE=45°.
∵∠CAD=∠BCM(都是∠ACE的余角),AC=BC,∠ACD=∠CBM=90°.
∴△ACD≌⊿CBM,得:
∴BM=CD=DM,∠ADC=∠M.
∵BE=BE,∠MBE=∠DBE
∴△MBE≌△DBE(SAS).
∴∠ADC=∠M=∠BDE.
作CH⊥AB于H交AD于P,
∵在Rt△ABC中,AC=CB,∠ACB=90°,
∴∠CAB=∠CBA=45°.
∴∠HCB=90°-∠CBA=45°=∠CBA.
又∵BC中点为D,
∴CD=BD.
又∵CH⊥AB,
∴CH=AH=BH.
又∵∠PAH+∠APH=90°,∠PCF+∠CPF=90°,∠APH=∠CPF,
∴∠P...
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作CH⊥AB于H交AD于P,
∵在Rt△ABC中,AC=CB,∠ACB=90°,
∴∠CAB=∠CBA=45°.
∴∠HCB=90°-∠CBA=45°=∠CBA.
又∵BC中点为D,
∴CD=BD.
又∵CH⊥AB,
∴CH=AH=BH.
又∵∠PAH+∠APH=90°,∠PCF+∠CPF=90°,∠APH=∠CPF,
∴∠PAH=∠PCF.
在△APH与△CEH中
∠PAH=∠ECH,AH=CH,∠PHA=∠EHC,
∴△APH≌△CEH(ASA).
∴PH=EH,
又∵PC=CH-PH,BE=BH-HE,
∴CP=EB.
在△PDC与△EDB中
PC=EB,∠PCD=∠EBD,DC=DB,
∴△PDC≌△EDB(SAS).
∴∠ADC=∠BDE.
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