已知函数f(x)=x3-ax2+bx+c,若函数f(x)在x=-1和x=3时取得极值,且其图像与x轴有且只有3个交点,求实数c 的取值范围.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/04 22:28:19
![已知函数f(x)=x3-ax2+bx+c,若函数f(x)在x=-1和x=3时取得极值,且其图像与x轴有且只有3个交点,求实数c 的取值范围.](/uploads/image/z/5276364-60-4.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%3Dx3-ax2%2Bbx%2Bc%2C%E8%8B%A5%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%E5%9C%A8x%3D-1%E5%92%8Cx%3D3%E6%97%B6%E5%8F%96%E5%BE%97%E6%9E%81%E5%80%BC%2C%E4%B8%94%E5%85%B6%E5%9B%BE%E5%83%8F%E4%B8%8Ex%E8%BD%B4%E6%9C%89%E4%B8%94%E5%8F%AA%E6%9C%893%E4%B8%AA%E4%BA%A4%E7%82%B9%2C%E6%B1%82%E5%AE%9E%E6%95%B0c+%E7%9A%84%E5%8F%96%E5%80%BC%E8%8C%83%E5%9B%B4.)
已知函数f(x)=x3-ax2+bx+c,若函数f(x)在x=-1和x=3时取得极值,且其图像与x轴有且只有3个交点,求实数c 的取值范围.
已知函数f(x)=x3-ax2+bx+c,若函数f(x)在x=-1和x=3时取得极值,且其图像与x轴有且只有3个交点,求实数
c 的取值范围.
已知函数f(x)=x3-ax2+bx+c,若函数f(x)在x=-1和x=3时取得极值,且其图像与x轴有且只有3个交点,求实数c 的取值范围.
f'(x)=3x²-2ax+b
则-1和3是f'(x)=0的根
所以a=3,b=-9
且x=-1是极大值,x=3是极小值
又三个解则极大值大于0且极小值小于0
f(x)=x³-3x²-9x+c
所以
f(-1)=5+c>0
f(3)=-27+c
由已知可得x=-1和x=3是方程f'(x)=3x2-2ax+b=0的两根,
∴ -1+3=2a3, -1×3=b3,
∴a=3,b=-9
∴f'(x)=3(x+1)(x-3),
∴f(x)在x=-1处取得极大值,在x=3处取得极小值.
∵函数y=f(x)的图象与x轴有且只有3个交点,∴ {f(-1)>0f(3)<0.
又f(x)=x3-3x2-9x+...
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由已知可得x=-1和x=3是方程f'(x)=3x2-2ax+b=0的两根,
∴ -1+3=2a3, -1×3=b3,
∴a=3,b=-9
∴f'(x)=3(x+1)(x-3),
∴f(x)在x=-1处取得极大值,在x=3处取得极小值.
∵函数y=f(x)的图象与x轴有且只有3个交点,∴ {f(-1)>0f(3)<0.
又f(x)=x3-3x2-9x+c,∴ {-1-3+9+c>027-27-27+c<0,
解得-5<c<27.
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