圆O1,圆O2相交于A ,B两点,AC是圆O2的切线,交圆O1于点C,连结CB并延长交圆O2于点F,D是圆O2上的点,且∠DAB=∠C,连结DB并延长交圆O1于点E(1)求证:DA是圆O1的切线(2)求证:AC平方:AD平方=BC:BD(3
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/01 23:46:03
![圆O1,圆O2相交于A ,B两点,AC是圆O2的切线,交圆O1于点C,连结CB并延长交圆O2于点F,D是圆O2上的点,且∠DAB=∠C,连结DB并延长交圆O1于点E(1)求证:DA是圆O1的切线(2)求证:AC平方:AD平方=BC:BD(3](/uploads/image/z/5202192-48-2.jpg?t=%E5%9C%86O1%2C%E5%9C%86O2%E7%9B%B8%E4%BA%A4%E4%BA%8EA+%2CB%E4%B8%A4%E7%82%B9%2CAC%E6%98%AF%E5%9C%86O2%E7%9A%84%E5%88%87%E7%BA%BF%2C%E4%BA%A4%E5%9C%86O1%E4%BA%8E%E7%82%B9C%2C%E8%BF%9E%E7%BB%93CB%E5%B9%B6%E5%BB%B6%E9%95%BF%E4%BA%A4%E5%9C%86O2%E4%BA%8E%E7%82%B9F%2CD%E6%98%AF%E5%9C%86O2%E4%B8%8A%E7%9A%84%E7%82%B9%2C%E4%B8%94%E2%88%A0DAB%3D%E2%88%A0C%2C%E8%BF%9E%E7%BB%93DB%E5%B9%B6%E5%BB%B6%E9%95%BF%E4%BA%A4%E5%9C%86O1%E4%BA%8E%E7%82%B9E%EF%BC%881%EF%BC%89%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9ADA%E6%98%AF%E5%9C%86O1%E7%9A%84%E5%88%87%E7%BA%BF%EF%BC%882%EF%BC%89%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9AAC%E5%B9%B3%E6%96%B9%EF%BC%9AAD%E5%B9%B3%E6%96%B9%3DBC%EF%BC%9ABD%EF%BC%883)
圆O1,圆O2相交于A ,B两点,AC是圆O2的切线,交圆O1于点C,连结CB并延长交圆O2于点F,D是圆O2上的点,且∠DAB=∠C,连结DB并延长交圆O1于点E(1)求证:DA是圆O1的切线(2)求证:AC平方:AD平方=BC:BD(3
圆O1,圆O2相交于A ,B两点,AC是圆O2的切线,交圆O1于点C,连结CB并延长交圆O2于点F,D是圆O2上的点,且
∠DAB=∠C,连结DB并延长交圆O1于点E
(1)求证:DA是圆O1的切线
(2)求证:AC平方:AD平方=BC:BD
(3)若BF=4,CA=3根号5,求DE的长
圆O1,圆O2相交于A ,B两点,AC是圆O2的切线,交圆O1于点C,连结CB并延长交圆O2于点F,D是圆O2上的点,且∠DAB=∠C,连结DB并延长交圆O1于点E(1)求证:DA是圆O1的切线(2)求证:AC平方:AD平方=BC:BD(3
分析:(1)本题可过A作圆O的直径,然后证这条直径与AD垂直即可.可根据圆周角定理和已知的∠DAB=∠C来求解.
(2)本题的关键是证CF=DE,如图,如果证CF=DE,就必须证明O′Q=OP,就要证出∠OO′Q=∠O′OP,可通过证∠O′JR=∠OKR,即∠ABF=∠ABE来求解,证出CF=DE后,可根据切割线定理得出本题要求的结论.
(3)根据切割线定理和CA,FB的长,即可求出BC的长,也就能得出CF的长,(2)中已证得CF=DE,那么即可求出DE的长.
证明:(1)过A作⊙O的直径AG连接BG,则∠G=∠C,∠ABG=90°,
∵∠BAD=∠C,
∴∠BAD=∠G.
∵∠G+∠BAG=90°,
∴∠DAB+∠BAG=90°.
即∠DAG=90°.
∴AG⊥AD.
∴DA是圆O的切线.
(2)如图:过O′作O′M⊥FC于M,作O′H⊥DE于H,
过O作ON⊥FC于N,过O作OL⊥DE于L;过O作OP⊥O′H于P,过O′作O′Q⊥ON于Q;
连接AB,OO′,则OO′⊥AB,OO′∥FC,OP∥DE,
∴∠ABF=∠O′JR,∠ABE=∠RKO.
∵∠ABF=∠BAC+∠C,∠ABE=∠D+∠DAB,
∵∠DAB=∠C,∠BAC=∠D,
∴∠ABF=∠ABE.
∴∠O′JR=∠OKR.
∴∠OO′Q=∠O′OP=90°-∠O′JR=90°-∠OKR.
∴OP=O′Q=OO′•cos∠OOP=OO•cos∠OOQ.
根据垂径定理易知:O′Q= 1/2CF,OP= 1/2DE,
∴CF=DE.
∵DA,AC分别是⊙O和⊙O′的切线,
∴CA²=CB•CF,DA²=DB•DE.
∴CA²:DA²=(CB:DB)•(CF:DE)=CB:DB.
(3)根据切割线定理可得:
∵CA²=CB•CF=CB•(CB+BF)=CB²+CB•BF,
∴45=CB²+4CB.
∴BC=4.
∴CF=BC+BF=9.
∴DE=CF=9.