已知三角形ABC,对于任意t属于R,(向量BA 减去t倍向量BC)的绝对值大于等于(向量AC)的绝对值,则角C等于?
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/04 19:14:46
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已知三角形ABC,对于任意t属于R,(向量BA 减去t倍向量BC)的绝对值大于等于(向量AC)的绝对值,则角C等于?
已知三角形ABC,对于任意t属于R,(向量BA 减去t倍向量BC)的绝对值大于等于(向量AC)的绝对值,则角C等于?
已知三角形ABC,对于任意t属于R,(向量BA 减去t倍向量BC)的绝对值大于等于(向量AC)的绝对值,则角C等于?
作BC边上的高AD,那么,AD=BA-BD=BA-|BD|/|BC|*BC,即t=|BD|/|BC|的情况,
所以,|AC|<=|AD|,又因为AD是垂线段,因为垂线段最短,所以|AD|<=|AC|
所以|AD|=|AC|,所以C=90°
也可以用代数的方法证明:(BA-tBC)^2>=AC^2,所以:(BC+AC-tBC)^2>=AC^2
打开后:(1-t)^2*BC^2+2(1-t)BC*AC+AC^2>=AC^2
消去AC^2得到(1-t)^2*BC^2+2(1-t)BC*AC>=0
所以,b^2-4ac<=0
所以,(2BC*AC)^2<=0,所以BC*AC=0,所以BC垂直于AC,(*表示内积)
还有,把题目中的说法改成向量的模,不是向量的绝对值.
|BA-tBC|>=|AC|>0,两边平方,有:
BA^2+t^2BC^2-2tBA*BC>=AC^2
使上式,对任意t均成立,只须 BA为斜边,角C为90度,OK了。