已知x,y为实数,x²+xy+y²=1求x²-xy+y²的取值范围.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/27 13:34:03
![已知x,y为实数,x²+xy+y²=1求x²-xy+y²的取值范围.](/uploads/image/z/5010799-31-9.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5x%2Cy%E4%B8%BA%E5%AE%9E%E6%95%B0%2Cx%26%23178%3B%2Bxy%2By%26%23178%3B%3D1%E6%B1%82x%26%23178%3B-xy%2By%26%23178%3B%E7%9A%84%E5%8F%96%E5%80%BC%E8%8C%83%E5%9B%B4.)
已知x,y为实数,x²+xy+y²=1求x²-xy+y²的取值范围.
已知x,y为实数,x²+xy+y²=1求x²-xy+y²的取值范围.
已知x,y为实数,x²+xy+y²=1求x²-xy+y²的取值范围.
x²+xy+y²=1
1=x²+y²+xy≥2|xy|+xy
xy≥0,则 1≥3xy,得到xy≤1/3
xy
解
换元, 可设
x=a+b, y=a-b, (a,b∈R)
代入题设条件等式,
3a²+b²=1
z=x²-xy+y²=a²+3b²
∴问题可化为,当3a²+b²=1时,
求z=a²+3b²的范围。
3z=3a²...
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解
换元, 可设
x=a+b, y=a-b, (a,b∈R)
代入题设条件等式,
3a²+b²=1
z=x²-xy+y²=a²+3b²
∴问题可化为,当3a²+b²=1时,
求z=a²+3b²的范围。
3z=3a²+9b²=1+8b²≥1
∴z≥1/3
z=a²+3(1-3a²)=3-8a²≤3
∴1/3≤z≤3
收起
∵x^2+y^2≧2xy ∴(x^2+y^2)/2≧xy(当且仅当x=y时取等号)
∴3(x^2+y^2)/2≧x^2+xy+y^2=1
1=x^2+xy+y^2≧3xy (当且仅当x=y时取等号)
∴x^2+y^2≧2/3 xy≦1/3 ∴-xy≧-1/3
∴x^2-xy+y^2≧2/3...
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∵x^2+y^2≧2xy ∴(x^2+y^2)/2≧xy(当且仅当x=y时取等号)
∴3(x^2+y^2)/2≧x^2+xy+y^2=1
1=x^2+xy+y^2≧3xy (当且仅当x=y时取等号)
∴x^2+y^2≧2/3 xy≦1/3 ∴-xy≧-1/3
∴x^2-xy+y^2≧2/3-1/3=1/3 (当且仅当x=y时取等号)
故x^2-xy+y^2得取值范围为[1/3,+∞)
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