如图,等腰梯形ABCD中,AB‖CD,AB=4,CD=12,∠C=60°,动点P从点C出发沿C→D方向向终点D运动,动点Q同时
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/06 20:23:13
![如图,等腰梯形ABCD中,AB‖CD,AB=4,CD=12,∠C=60°,动点P从点C出发沿C→D方向向终点D运动,动点Q同时](/uploads/image/z/4534858-10-8.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%2C%E7%AD%89%E8%85%B0%E6%A2%AF%E5%BD%A2ABCD%E4%B8%AD%2CAB%E2%80%96CD%2CAB%3D4%2CCD%3D12%2C%E2%88%A0C%3D60%C2%B0%2C%E5%8A%A8%E7%82%B9P%E4%BB%8E%E7%82%B9C%E5%87%BA%E5%8F%91%E6%B2%BFC%E2%86%92D%E6%96%B9%E5%90%91%E5%90%91%E7%BB%88%E7%82%B9D%E8%BF%90%E5%8A%A8%2C%E5%8A%A8%E7%82%B9Q%E5%90%8C%E6%97%B6)
如图,等腰梯形ABCD中,AB‖CD,AB=4,CD=12,∠C=60°,动点P从点C出发沿C→D方向向终点D运动,动点Q同时
如图,等腰梯形ABCD中,AB‖CD,AB=4,CD=12,∠C=60°,动点P从点C出发沿C→D方向向终点D运动,动点Q同时
如图,等腰梯形ABCD中,AB‖CD,AB=4,CD=12,∠C=60°,动点P从点C出发沿C→D方向向终点D运动,动点Q同时
(1)解法一:如图1
过A作AE⊥CD,垂足为E.
依题意,DE=$\frac{9-4}{2}$=$\frac{5}{2}$.
在Rt△ADE中,AD=$\frac{DE}{cos60°}$=$\frac{5}{2}×2=5$.
解法二:如图2
过点A作AE‖BC交CD于点E,则CE=AB=4.
∠AED=∠C=60度.
又∵∠D=∠C=60°,
∴△AED是等边三角形.
∴AD=DE=9-4=5.
(2)如图1
∵CP=x,h为PD边上的高,依题意,
△PDQ的面积S可表示为:
S=$\frac{1}{2}$PD•h=$\frac{1}{2}$(9-x)•x•sin60°
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$(9x-x2)=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$(x-$\frac{9}{2}$)2+$\frac{81\sqrt{3}}{16}$.
由题意,知0≤x≤5.
当x=$\frac{9}{2}$时(满足0≤x≤5),S最大值=$\frac{81\sqrt{3}}{16}$.
(3)如图4
存在满足条件的点M,则PD必须等于DQ.
于是9-x=x,x=$\frac{9}{2}$.
此时,点P、Q的位置如图25-4所示,△PDQ恰为等边三角形.
过点D作DO⊥PQ于点O,延长DO交BC于点M,连接PM、QM,则DM垂直平分PQ,∴MP=MQ.
易知∠1=∠C.
∴PQ‖BC.
又∵DO⊥PQ,
∴MC⊥MD
∴MP=$\frac{1}{2}$CD=PD
即MP=PD=DQ=QM
∴四边形PDQM是菱形
所以存在满足条件的点M,且BM=BC-MC=5-$\frac{9}{2}$=$\frac{1}{2}$.