对于函数f(x)=x^2-lnx(1)求其单调区间(2)点p是曲线y=x^2-lnx上任意一点,求点P到直线y=x-2的最小距离(3)g(x)=8x-7lnx-k,f(x)与g(x)两个函数图像有三个交点,求k的取值范围.尤其是第三问!
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/27 19:12:12
![对于函数f(x)=x^2-lnx(1)求其单调区间(2)点p是曲线y=x^2-lnx上任意一点,求点P到直线y=x-2的最小距离(3)g(x)=8x-7lnx-k,f(x)与g(x)两个函数图像有三个交点,求k的取值范围.尤其是第三问!](/uploads/image/z/4520218-58-8.jpg?t=%E5%AF%B9%E4%BA%8E%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%3Dx%5E2-lnx%281%29%E6%B1%82%E5%85%B6%E5%8D%95%E8%B0%83%E5%8C%BA%E9%97%B4%282%29%E7%82%B9p%E6%98%AF%E6%9B%B2%E7%BA%BFy%3Dx%5E2-lnx%E4%B8%8A%E4%BB%BB%E6%84%8F%E4%B8%80%E7%82%B9%2C%E6%B1%82%E7%82%B9P%E5%88%B0%E7%9B%B4%E7%BA%BFy%3Dx-2%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%8F%E8%B7%9D%E7%A6%BB%283%29g%28x%29%3D8x-7lnx-k%2Cf%28x%29%E4%B8%8Eg%28x%29%E4%B8%A4%E4%B8%AA%E5%87%BD%E6%95%B0%E5%9B%BE%E5%83%8F%E6%9C%89%E4%B8%89%E4%B8%AA%E4%BA%A4%E7%82%B9%2C%E6%B1%82k%E7%9A%84%E5%8F%96%E5%80%BC%E8%8C%83%E5%9B%B4.%E5%B0%A4%E5%85%B6%E6%98%AF%E7%AC%AC%E4%B8%89%E9%97%AE%21)
对于函数f(x)=x^2-lnx(1)求其单调区间(2)点p是曲线y=x^2-lnx上任意一点,求点P到直线y=x-2的最小距离(3)g(x)=8x-7lnx-k,f(x)与g(x)两个函数图像有三个交点,求k的取值范围.尤其是第三问!
对于函数f(x)=x^2-lnx(1)求其单调区间(2)点p是曲线y=x^2-lnx上任意一点,求点P到直线y=x-2的最小距离
(3)g(x)=8x-7lnx-k,f(x)与g(x)两个函数图像有三个交点,求k的取值范围.尤其是第三问!
对于函数f(x)=x^2-lnx(1)求其单调区间(2)点p是曲线y=x^2-lnx上任意一点,求点P到直线y=x-2的最小距离(3)g(x)=8x-7lnx-k,f(x)与g(x)两个函数图像有三个交点,求k的取值范围.尤其是第三问!
对于函数f(x)=x²-lnx;(1)求其单调区间;(2)点p是曲线y=x²-lnx上任意一点,求点P到直线y=x-2的最小距离;(3)g(x)=8x-7lnx-k,f(x)与g(x)两个函数图像有三个交点,求k的取值范围
(1) f(x)的定义域为x>0
f′(x)=2x-1/x=(2x²-1)/x=2(x²-1/2)/x=2(x-1/√2)(x+1/√2)/x=2(x-√2/2)(x+√2/2)/x
故当x∈(0,√2/2)时f′(x)0,即在此区间里单调增.
(2) 直线y=x-2的斜率k=1,令f′(x)=2x-(1/x)=1,得2x²-x-1=(2x+1)(x-1)=0,故得x=1 (x=-1/2舍去).
此时y=1-ln1=1,即曲线上过P(1,1)的切线平行于直线y=x-2,那么这一点到直线的距离最小,此
最小距离d=︱1-1+2︱/√2=2/√2=√2.
(3).令f(x)=g(x),即x²-lnx=8x-7lnx-k,得k=-x²+8x-6lnx;
设G(x)=-x²+8x-6lnx,令G′(x)=-2x+8-6/x=(-2x²+8x-6)/x=-2(x²-4x+3)/x=-2(x-1)(x-3)/x=0
得驻点x₁=1,x₂=3,不难判断,x₁=1是极小点;x₂=3是极大点.故minG(x)=G(1)=-1+8=7;
maxG(X)=G(3)=-9+24-6ln3=15-6ln3≈8.40833
又x→0limG(x)=x→0lim(-x²+8x-6lnx)=+∞
x→+∞limG(x)=x→+∞lim(-x²+8x-6lnx)=-∞
故要使f(x)与g(x)两个函数的图像有三个交点,必须 7