在△ABC中,C=2A,cos A=3/4,向量BA×向量BC=27/2(1)求sin C和cos B的值(2)求边AC的长
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/06 12:36:10
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在△ABC中,C=2A,cos A=3/4,向量BA×向量BC=27/2(1)求sin C和cos B的值(2)求边AC的长
在△ABC中,C=2A,cos A=3/4,向量BA×向量BC=27/2
(1)求sin C和cos B的值
(2)求边AC的长
在△ABC中,C=2A,cos A=3/4,向量BA×向量BC=27/2(1)求sin C和cos B的值(2)求边AC的长
(1)
因为cosA=3/4,根据sinA的平方+cosA的平方=1
解得sinA的平方=7/16
因为cosB=cos(π-A-C),又C=2A
即
cosB=cos(π-3A)
根据三角涵数诱导公式cos(π-a)=-cos a
所以cosB=cos(π-3A)
= - cos3A
= - cos(2A+A)
= - (cos2AcosA-sin2AsinA)
= - [(2cosA的平方-1)cosA-2sinAcosAsinA]
= - [(2*(3/4)的平方-1)*3/4-2*sinA的平方*3/4]
= - (3/32-21/32)
=9/16
sinC=sin(A+B)=cosBsinA+cosAsinB
因为cosA和cosB已知
sinA和sinB
根据 sin2 x+cos2 x=1求
因为是三角形内角
所以为正
(2)
设角A所对的边为a,角B所对的边为b,角C所对的边为c
由正弦定理得:a/sinA=c/sinC
因为C=2A,即
a/sinA=c/sin2A
=c/2sinAcosA
约去sinA,把cosA=3/4代入原式,化简得:
(3/2)a=c……………………①
因为c向量*a向量=27/2
所以有|a|*|c|*cosB=27/2
所以|a|*|c|=(27/2)/(3/4)=24……………………②
结合①和②组成方程组,得:
(3/2)a=c
ac=24
解得a=4,c=6(负数舍去)
根据余弦定理可得:
b的平方=a的平方+c的平方-2ac cosB
=4的平方+6的平方-2*24*3/4
=25
所以b=5(负数舍去)
所以AC=5