已知函数f(x)=a-1/丨x丨(1)求证函数f(x)在(0,∞)上是增函数(2)若f(x)<2x在(1,+∞)上恒成立求a的范围明天再选最佳答案,今天电脑看不了答案
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/06 18:03:41
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已知函数f(x)=a-1/丨x丨(1)求证函数f(x)在(0,∞)上是增函数(2)若f(x)<2x在(1,+∞)上恒成立求a的范围明天再选最佳答案,今天电脑看不了答案
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①在(0,∞)上时,f(x)=a-1/丨x丨=a-1/x
令x2>x1>0 ,则 f(x2)-f(x1) =1/x1-1/x2 =(x2-x1)/(x1x2)
因为x2>x1>0 ,即x2-x1>0,x1x2>0,所以(x2-x1)/(x1x2)>0,即f(x2)-f(x1)>0 所以f(x)在(0,∞)上是增函数.
②f(x)x1
则 g(x2)-g(x1) =2x2-1/x1+2x1-1/x2 =(x2-x1)(2x1x2-1)/(x1x2)
又 x2>x1>1 ,即x2-x1>0,2x1x2-1>0
所以g(x2)-g(x1)>0
g(x)在(1,+∞)上为增函数
所以g(x)>g(1)=3
a≤g(1)=3
即 a≤3
(1),当x>0时,f(x)=a-1/x,令g(x)=1/x,则g(x)为减函数,那么-g(x)为增函数,f(x)=-g(x)+a也同样是增函数
(2)当x>1时,f(x)=a-1/x,由f(x)<2x得到,a<2x+1/x对一切x>1成立,由于h(x)在(1,+∞)是增函数,所以a
f﹙x﹚=a-1/x 1/x在﹙0,﹢∞﹚上单减 ∴f﹙x﹚单增
当x>0时 2x-f﹙x﹚=2x+1/x-a 在[1,﹢∞﹚单增x=1时取最小值3-a
∴3-a≥0 a≤3