三角形的三个内角A,B,C所对的边的长分别为a,b,c,设向量m=(c-a,b-a),向量n=(a+b,c),若向量m平行于向量n,求角A的正弦值加角C的正弦值的取值范围
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/04 18:59:25
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三角形的三个内角A,B,C所对的边的长分别为a,b,c,设向量m=(c-a,b-a),向量n=(a+b,c),若向量m平行于向量n,求角A的正弦值加角C的正弦值的取值范围
三角形的三个内角A,B,C所对的边的长分别为a,b,c,设向量m=(c-a,b-a),向量n=(a+b,c),若向量m平行于向量n,求角A的正弦值加角C的正弦值的取值范围
三角形的三个内角A,B,C所对的边的长分别为a,b,c,设向量m=(c-a,b-a),向量n=(a+b,c),若向量m平行于向量n,求角A的正弦值加角C的正弦值的取值范围
(1)m=(c-a,b-a),n=(a+b,c)
向量m平行于向量n
则(c-a)*c=(b-a)*(a+b)
b^2=c^2+a^2-ac
又b^2=c^2+a^2-accos∠B
cos∠B =1/2
所以∠B =60°
(2)sinA+sinC
=sinA+sin(120°-A)
=sinA+sin120°*cosA-cos120°*sinA
=sinA+√3/2*cosA+1/2*sinA
=√3/2*cosA+3/2*sinA
=√3(1/2*cosA+√3/2*sinA)
=√3(sin30°*cosA+cos30° *sinA)
=√3sin(A+30°)
因为A∈(0°,120°)
A+30°∈(30°,150°)
sin(A+30°)∈(1/2,1]
√3sin(A+30°)∈(√3/2,√3]
所以sinA+sinC )∈(√3/2,√3]
根据向量平行的乘积关系,COS
由向量M和N平行可的角B等于60度,角a加角c等于120度,所以范围是√3/2∽√3