根据数列极限的定义证明:lim(2的n次方-1)/3的n次方 =0 lim下面是n-->∞符号.求完整的步骤,尤其是解n和N取值那步,我才刚学,要按书上的步骤写。
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/01 23:07:34
![根据数列极限的定义证明:lim(2的n次方-1)/3的n次方 =0 lim下面是n-->∞符号.求完整的步骤,尤其是解n和N取值那步,我才刚学,要按书上的步骤写。](/uploads/image/z/4050665-17-5.jpg?t=%E6%A0%B9%E6%8D%AE%E6%95%B0%E5%88%97%E6%9E%81%E9%99%90%E7%9A%84%E5%AE%9A%E4%B9%89%E8%AF%81%E6%98%8E%EF%BC%9Alim%EF%BC%882%E7%9A%84n%E6%AC%A1%E6%96%B9-1%EF%BC%89%2F3%E7%9A%84n%E6%AC%A1%E6%96%B9+%3D0+lim%E4%B8%8B%E9%9D%A2%E6%98%AFn--%3E%E2%88%9E%E7%AC%A6%E5%8F%B7.%E6%B1%82%E5%AE%8C%E6%95%B4%E7%9A%84%E6%AD%A5%E9%AA%A4%2C%E5%B0%A4%E5%85%B6%E6%98%AF%E8%A7%A3n%E5%92%8CN%E5%8F%96%E5%80%BC%E9%82%A3%E6%AD%A5%2C%E6%88%91%E6%89%8D%E5%88%9A%E5%AD%A6%EF%BC%8C%E8%A6%81%E6%8C%89%E4%B9%A6%E4%B8%8A%E7%9A%84%E6%AD%A5%E9%AA%A4%E5%86%99%E3%80%82)
根据数列极限的定义证明:lim(2的n次方-1)/3的n次方 =0 lim下面是n-->∞符号.求完整的步骤,尤其是解n和N取值那步,我才刚学,要按书上的步骤写。
根据数列极限的定义证明:lim(2的n次方-1)/3的n次方 =0 lim下面是n-->∞符号.求完整的步骤,尤其是解n和N取值那步,
我才刚学,要按书上的步骤写。
根据数列极限的定义证明:lim(2的n次方-1)/3的n次方 =0 lim下面是n-->∞符号.求完整的步骤,尤其是解n和N取值那步,我才刚学,要按书上的步骤写。
对于任意ε>0
令|2^(n-1)/3^n|<ε
n>lg(2ε)/lg(2/3)
取N=[lg(2ε)/lg(2/3)]
则n>N时|2^(n-1)/3^n|<ε
即lim2^(n-1)/3^n=0
n-->-∞时,2的n次方-1趋于0,则极限为0
=lim[(2/3)^n-(1/3)^n
2/3<1,1/3<1
所以两个式子都趋于0
所以原式=0
对于给定的一个任意小的数 ɛ > 0, 存在一个N, 使得当 n > N(ɛ) ,极限值小于ɛ。
现在要找的是N(ɛ) 的关系式。
| 2^(n-1)/3^n - 0| < ɛ
(2/3)^n < 2ɛ
n > ln(2ɛ)/ln(2/3)
取 N = ln(2ɛ)/ln(2/3) 可以满足上述要求。
证毕
对于任意ε>0
令N=max{1,lnε/ln(2/3)}
则当n>N时
|(2的n次方-1)/3的n次方-0|
=(2的n次方-1)/3的n次方
<=2^n/3^n
<=(2/3)^n
<(2/3)^[lnε/ln(2/3)]
=e
所以由极限定义
lim(2的n次方-1)/3的n次方 =0
下解释为何是N=...
全部展开
对于任意ε>0
令N=max{1,lnε/ln(2/3)}
则当n>N时
|(2的n次方-1)/3的n次方-0|
=(2的n次方-1)/3的n次方
<=2^n/3^n
<=(2/3)^n
<(2/3)^[lnε/ln(2/3)]
=e
所以由极限定义
lim(2的n次方-1)/3的n次方 =0
下解释为何是N=max{1,lnε/ln(2/3)}
1是用来参考的,N至少为1
后面的是合适的放缩
即|(2的n次方-1)/3的n次方-0|<ε
这个方程直接不好解
我们发现
2^n>2^n-1>0
所以2^n/3^n>(2^n-1)/3^n>0
而2^n/3^n<ε
很好解
即为
(2/3)^n<ε
n>lnε/ln(2/3)
所以适当放大后
因为2^n/3^n<ε
所以(2^n-1)/3^n<2^n/3^n<ε
收起