在Rt三角形ABC中,角ACB=45度,角BAC=90度,点D是AB的中点,AF垂直CD于H交BC于F,BE平行AC交AF的延长线于E,求证:BC垂直且平分DE.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/04 05:58:31
![在Rt三角形ABC中,角ACB=45度,角BAC=90度,点D是AB的中点,AF垂直CD于H交BC于F,BE平行AC交AF的延长线于E,求证:BC垂直且平分DE.](/uploads/image/z/3854113-25-3.jpg?t=%E5%9C%A8Rt%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2ABC%E4%B8%AD%2C%E8%A7%92ACB%3D45%E5%BA%A6%2C%E8%A7%92BAC%3D90%E5%BA%A6%2C%E7%82%B9D%E6%98%AFAB%E7%9A%84%E4%B8%AD%E7%82%B9%2CAF%E5%9E%82%E7%9B%B4CD%E4%BA%8EH%E4%BA%A4BC%E4%BA%8EF%2CBE%E5%B9%B3%E8%A1%8CAC%E4%BA%A4AF%E7%9A%84%E5%BB%B6%E9%95%BF%E7%BA%BF%E4%BA%8EE%2C%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9ABC%E5%9E%82%E7%9B%B4%E4%B8%94%E5%B9%B3%E5%88%86DE.)
在Rt三角形ABC中,角ACB=45度,角BAC=90度,点D是AB的中点,AF垂直CD于H交BC于F,BE平行AC交AF的延长线于E,求证:BC垂直且平分DE.
在Rt三角形ABC中,角ACB=45度,角BAC=90度,点D是AB的中点,AF垂直CD于H交BC于F,
BE平行AC交AF的延长线于E,求证:BC垂直且平分DE.
在Rt三角形ABC中,角ACB=45度,角BAC=90度,点D是AB的中点,AF垂直CD于H交BC于F,BE平行AC交AF的延长线于E,求证:BC垂直且平分DE.
设DE和BC交于P
在△ADC中,∠DAH+∠ADH=90°,∠ACH+∠ADH=90°,
∴∠DAH=∠DCA,
∵∠BAC=90°,BE∥AC,
∴∠CAD=∠ABE=90°.
又∵AB=CA,
∴在△ABE与△CAD中,
∠DAH=∠DCA,∠CAD=∠ABEAB=AC
∴△ABE≌△CAD(ASA),
∴AD=BE,
又∵AD=BD,
∴BD=BE,
在Rt△ABC中,∠ACB=45°,∠BAC=90°,AB=AC,
故∠ABC=45°.
∵BE∥AC,
∴∠EBD=90°,∠EBF=90°-45°=45°,
∴△DBP≌△EBP(SAS),
∴DP=EP,
即可得出BC垂直且平分DE.
取BC中点M,连接MD,先△ADC≌△ABE,再四边形BDEM是正方形,问题解决
证明:
∵∠BAC=90°,AH⊥CD
∴∠BAE+∠CAH=∠ACD+∠CAH=90°
∴∠BAE-∠ACD
∵AC=AB,∠ABE=∠CAD=90°
∴△ABE≌△ACD
∴AD=BE
∵AD=BD
∴BD=BE
∵∠DBC=∠EBC=45°
∴BC垂直平分DE(等腰三角形三线合一)