已知圆C:(x-3)²+(y-4)²=4直线l1过定点A(1,0) 1.若l1与圆小妾,求l1的方程;2.若l1与圆相交于P、Q两点,线段PQ的中点为M ,又l1与l2:x+2y+2=0的交点为N,求证 :|AM|*|AN|为定值
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/28 10:39:00
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已知圆C:(x-3)²+(y-4)²=4直线l1过定点A(1,0) 1.若l1与圆小妾,求l1的方程;2.若l1与圆相交于P、Q两点,线段PQ的中点为M ,又l1与l2:x+2y+2=0的交点为N,求证 :|AM|*|AN|为定值
已知圆C:(x-3)²+(y-4)²=4直线l1过定点A(1,0) 1.若l1与圆小妾,求l1的方程;
2.若l1与圆相交于P、Q两点,线段PQ的中点为M ,又l1与l2:x+2y+2=0的交点为N,求证 :|AM|*|AN|为定值
已知圆C:(x-3)²+(y-4)²=4直线l1过定点A(1,0) 1.若l1与圆小妾,求l1的方程;2.若l1与圆相交于P、Q两点,线段PQ的中点为M ,又l1与l2:x+2y+2=0的交点为N,求证 :|AM|*|AN|为定值
1、由题,圆心(3,4)到切线距离等于半径r=2
设l1的斜率为k
当斜率不存在时,l1的方程为x=1,满足圆心到切线距离等于半径
当斜率存在时,设l1的方程为y-0=k(x-1),即kx-y-k=0
则圆心到直线l1的距离d=|3k-4-k|/√(k²+1)=2
平方,得 k²-4k+4=k²+1
解得k=3/4
即,l1的方程为y=3(x-1)/4
所以,l1的方程为x=1,或3x-4y-3=0
2、设直线l1的斜率为k,则
l1:y=k(x-1)
l2:x+2y+2=0
联立求出N点的坐标 N[(2k-2)/(2k+1),(-3)k/(2k+1)]
设M点坐标为(x0,k(x0-1) )
由圆心c的坐标C(3,4)
可得CM所在直线斜率k(cm)=[4-k(x0-1)]/(3-x0)
又CM⊥PQ,即,k×k(cm)=-1
所以,k×[4-k(x0-1)]/(3-x0)=-1
解得x0=(k²+4k+3)/(k²+1)
所以,
|AM|²=[(4k+2)/(k²+1)]²+[k(4k+2)/(k²+1)]²=(4k+2)²/(k²+1)=4(2k+1)²/(1+k²)
|AN|²=[(-3)/(2k+1)]²+[(-3)k/(2k+1)]²=9(1+k²)/(2k+1)²
所以,
|AM|²×|AN|²
=[4(2k+1)²/(1+k²)]×[9(1+k²)/(2k+1)²]
=36
即,|AM|×|AN|=6
所以,|AM|×|AN|为定值6