三点共线向量形式在n维空间下的推广已知n维空间中有n个点,记为P1,P2…Pn,且这些点都在方程A1*i1+A2*i2+…+An*in+A0=0上(A0,A1,A2,…An为常数,i1,i2,…in为空间中的n个维度).现有点O及点P0,使k1*向量OP1
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/30 07:44:53
![三点共线向量形式在n维空间下的推广已知n维空间中有n个点,记为P1,P2…Pn,且这些点都在方程A1*i1+A2*i2+…+An*in+A0=0上(A0,A1,A2,…An为常数,i1,i2,…in为空间中的n个维度).现有点O及点P0,使k1*向量OP1](/uploads/image/z/3509510-14-0.jpg?t=%E4%B8%89%E7%82%B9%E5%85%B1%E7%BA%BF%E5%90%91%E9%87%8F%E5%BD%A2%E5%BC%8F%E5%9C%A8n%E7%BB%B4%E7%A9%BA%E9%97%B4%E4%B8%8B%E7%9A%84%E6%8E%A8%E5%B9%BF%E5%B7%B2%E7%9F%A5n%E7%BB%B4%E7%A9%BA%E9%97%B4%E4%B8%AD%E6%9C%89n%E4%B8%AA%E7%82%B9%2C%E8%AE%B0%E4%B8%BAP1%2CP2%E2%80%A6Pn%2C%E4%B8%94%E8%BF%99%E4%BA%9B%E7%82%B9%E9%83%BD%E5%9C%A8%E6%96%B9%E7%A8%8BA1%2Ai1%2BA2%2Ai2%2B%E2%80%A6%2BAn%2Ain%2BA0%3D0%E4%B8%8A%EF%BC%88A0%2CA1%2CA2%2C%E2%80%A6An%E4%B8%BA%E5%B8%B8%E6%95%B0%2Ci1%2Ci2%2C%E2%80%A6in%E4%B8%BA%E7%A9%BA%E9%97%B4%E4%B8%AD%E7%9A%84n%E4%B8%AA%E7%BB%B4%E5%BA%A6%EF%BC%89.%E7%8E%B0%E6%9C%89%E7%82%B9O%E5%8F%8A%E7%82%B9P0%2C%E4%BD%BFk1%2A%E5%90%91%E9%87%8FOP1)
三点共线向量形式在n维空间下的推广已知n维空间中有n个点,记为P1,P2…Pn,且这些点都在方程A1*i1+A2*i2+…+An*in+A0=0上(A0,A1,A2,…An为常数,i1,i2,…in为空间中的n个维度).现有点O及点P0,使k1*向量OP1
三点共线向量形式在n维空间下的推广
已知n维空间中有n个点,记为P1,P2…Pn,且这些点都在方程A1*i1+A2*i2+…+An*in+A0=0上(A0,A1,A2,…An为常数,i1,i2,…in为空间中的n个维度).现有点O及点P0,使k1*向量OP1+k2*向量OP2+…+kn*向量OPn=向量OP0(k1,k2,…kn为常数).
求证:k1+k2+…+kn=1的充要条件是点P0满足方程A1*i1+A2*i2+…+An*in+A0=0.
P.S.能否给出代数方法的证明?
三点共线向量形式在n维空间下的推广已知n维空间中有n个点,记为P1,P2…Pn,且这些点都在方程A1*i1+A2*i2+…+An*in+A0=0上(A0,A1,A2,…An为常数,i1,i2,…in为空间中的n个维度).现有点O及点P0,使k1*向量OP1
设
向量OP1=(i11,i12,……,i1n) A1*i11+A2*i12+……+An*i1n+A0=0 (1)
向量OP2=(i21,i22,……,i2n) A1*i21+A2*i22+……+An*i2n+A0=0 (2)
…… ……
向量OPn=(in1,in2,……,inn) A1*in1+A2*in2+……+An*inn+A0=0 (n)
充分条件:
设向量OP0=(i01,i02,……,i0n),A1*i01+A2*i02+……+An*i0n+A0=0
因为 k1*向量OP1+k2*向量OP2+…+kn*向量OPn=向量OP0
有 i01=k1*i11+k2*i21+……+kn*in1
i02=k1*i12+k2*i22+……+kn*in2
……
i0n=k1*i1n+k2*i2n+……+kn*inn
k1*(1)式+k2*(2)式+……+kn*(n)式
=(k1*i11+k2*i21+……+kn*in1)*A1+(k1*i12+k2*i22+……+kn*in2)*A2+……+(k1*i1n+k2*i2n+……+kn*inn)*An+(k1+k2+……+kn)*A0
=A1*i01+A2*i02+……+An*i0n+(k1+k2+……+kn)*A0=0
又因为A1*i01+A2*i02+……+An*i0n+A0=0,
故 A0=(k1+k2+……+kn)*A0
所以k1+k2+……+kn=1
必要条件:
设向量OP0=(i01,i02,……,i0n),k1+k2+……+kn=1
因为 k1*向量OP1+k2*向量OP2+…+kn*向量OPn=向量OP0
有 i01=k1*i11+k2*i21+……+kn*in1
i02=k1*i12+k2*i22+……+kn*in2
……
i0n=k1*i1n+k2*i2n+……+kn*inn
所以 k1*(1)式+k2*(2)式+……+kn*(n)式
=(k1*i11+k2*i21+……+kn*in1)*A1+(k1*i12+k2*i22+……+kn*in2)*A2+……+(k1*i1n+k2*i2n+……+kn*inn)*An+(k1+k2+……+kn)*A0
=A1*i01+A2*i02+……+An*i0n+A0=0
得证:k1+k2+…+kn=1的充要条件是点P0满足方程A1*i1+A2*i2+…+An*in+A0=0