函数f(x)的定义域为R,若f(x+1) 与f(x-1)都是奇函数,则:A:f(x)是偶函数 B:f(x)是奇函数 C:f(x)=f(x+2) D:f(x+3)是奇函数
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/30 21:57:05
![函数f(x)的定义域为R,若f(x+1) 与f(x-1)都是奇函数,则:A:f(x)是偶函数 B:f(x)是奇函数 C:f(x)=f(x+2) D:f(x+3)是奇函数](/uploads/image/z/3019494-30-4.jpg?t=%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%E7%9A%84%E5%AE%9A%E4%B9%89%E5%9F%9F%E4%B8%BAR%2C%E8%8B%A5f%28x%2B1%29+%E4%B8%8Ef%28x-1%29%E9%83%BD%E6%98%AF%E5%A5%87%E5%87%BD%E6%95%B0%2C%E5%88%99%3AA%3Af%28x%29%E6%98%AF%E5%81%B6%E5%87%BD%E6%95%B0+B%3Af%28x%29%E6%98%AF%E5%A5%87%E5%87%BD%E6%95%B0+C%3Af%28x%29%3Df%28x%2B2%29+D%3Af%28x%2B3%29%E6%98%AF%E5%A5%87%E5%87%BD%E6%95%B0)
函数f(x)的定义域为R,若f(x+1) 与f(x-1)都是奇函数,则:A:f(x)是偶函数 B:f(x)是奇函数 C:f(x)=f(x+2) D:f(x+3)是奇函数
函数f(x)的定义域为R,若f(x+1) 与f(x-1)都是奇函数,则:A:f(x)是偶函数 B:f(x)是奇函数 C:f(x)=f(x+2) D:f(x+3)是奇函数
函数f(x)的定义域为R,若f(x+1) 与f(x-1)都是奇函数,则:A:f(x)是偶函数 B:f(x)是奇函数 C:f(x)=f(x+2) D:f(x+3)是奇函数
看图
左边没有画全自己想象下,或者补充下
设g(x)=f(x+1)
因为f(x+1) 是奇函数
所以g(x)也是奇函数
即有g(-x)=-g(x)
即有f(-x+1)=-f(x+1) (这是关键,想一想为什么?) (1)
同理可设h(x)=f(x-1)
同样可得:h(-x)=-h(x)
即f(-x-1)=-f(x-1) (2)
在(2...
全部展开
设g(x)=f(x+1)
因为f(x+1) 是奇函数
所以g(x)也是奇函数
即有g(-x)=-g(x)
即有f(-x+1)=-f(x+1) (这是关键,想一想为什么?) (1)
同理可设h(x)=f(x-1)
同样可得:h(-x)=-h(x)
即f(-x-1)=-f(x-1) (2)
在(2)式中把x用2-x去代换得:f(-(2-x)-1)=-f((2-x)-1),这步是怎么来的)
即f(x-3)=-f(-x+1) (3)
由(1)、(3)得:f(x-3)=f(x+1) (4)
在(4)中把x用x-1去代换得:f(x-1-3)=f(x-1+1)
即f(x-4)=f(x)
这只说f(x)是以4为周期的周期函数。
收起
∵f(x+1) 与f(x-1)都是奇函数
∴f(x)=f(x-1+1)=-f[-(x-1+1)]=-f(-x)
∴函数f(x)是奇函数
同理f(x+3)是奇函数不明白假设令x+1=t,那么f(t)就是奇函数,因为定义域为R,所以将t换成x,则f(x)就是奇函数;
同理令x-3=t,那么x=t+3,所以
f(-x)=f(-t-3)=-f(t+3),所以
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∵f(x+1) 与f(x-1)都是奇函数
∴f(x)=f(x-1+1)=-f[-(x-1+1)]=-f(-x)
∴函数f(x)是奇函数
同理f(x+3)是奇函数
收起