设函数f(x)的定义域关于原点对称,且满足 (1) f(x1-x2)=[f(x1)*f(x2)+1]/[f(x2)-f(x1)];(2)存在正常数a,使 f(a)=1.求证:(1)f(x)是奇函数;(2)f(x)是周期函数,并且有一个周期为4a.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/03 22:00:57
![设函数f(x)的定义域关于原点对称,且满足 (1) f(x1-x2)=[f(x1)*f(x2)+1]/[f(x2)-f(x1)];(2)存在正常数a,使 f(a)=1.求证:(1)f(x)是奇函数;(2)f(x)是周期函数,并且有一个周期为4a.](/uploads/image/z/2667289-49-9.jpg?t=%E8%AE%BE%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%E7%9A%84%E5%AE%9A%E4%B9%89%E5%9F%9F%E5%85%B3%E4%BA%8E%E5%8E%9F%E7%82%B9%E5%AF%B9%E7%A7%B0%2C%E4%B8%94%E6%BB%A1%E8%B6%B3+%281%29+f%28x1-x2%29%3D%5Bf%28x1%29%2Af%28x2%29%2B1%5D%2F%5Bf%28x2%29-f%28x1%29%5D%3B%282%29%E5%AD%98%E5%9C%A8%E6%AD%A3%E5%B8%B8%E6%95%B0a%2C%E4%BD%BF+f%28a%29%3D1.%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9A%EF%BC%881%EF%BC%89f%28x%29%E6%98%AF%E5%A5%87%E5%87%BD%E6%95%B0%EF%BC%9B%EF%BC%882%EF%BC%89f%28x%29%E6%98%AF%E5%91%A8%E6%9C%9F%E5%87%BD%E6%95%B0%2C%E5%B9%B6%E4%B8%94%E6%9C%89%E4%B8%80%E4%B8%AA%E5%91%A8%E6%9C%9F%E4%B8%BA4a.)
设函数f(x)的定义域关于原点对称,且满足 (1) f(x1-x2)=[f(x1)*f(x2)+1]/[f(x2)-f(x1)];(2)存在正常数a,使 f(a)=1.求证:(1)f(x)是奇函数;(2)f(x)是周期函数,并且有一个周期为4a.
设函数f(x)的定义域关于原点对称,且满足 (1) f(x1-x2)=[f(x1)*f(x2)+1]/[f(x2)-f(x1)];(2)存在正常数a,
使 f(a)=1.求证:(1)f(x)是奇函数;(2)f(x)是周期函数,并且有一个周期为4a.
设函数f(x)的定义域关于原点对称,且满足 (1) f(x1-x2)=[f(x1)*f(x2)+1]/[f(x2)-f(x1)];(2)存在正常数a,使 f(a)=1.求证:(1)f(x)是奇函数;(2)f(x)是周期函数,并且有一个周期为4a.
(1)
f(x1-x2)=[f(x1)f(x2)+1]/[f(x2)-f(x1)]
设x=x1-x2
f(-x)=f(x2-x1)=[f(x2)f(x1)+1]/[f(x1)-f(x2)]
=-[f(x1)f(x2)+1]/[f(x2)-f(x1)]=-f(x1-x2)=-f(x)
∴f(x)是奇函数
(2)
f(a)=1,f(-a)=-1
f(x-a)=[f(x)+1]/[1-f(x)]
f(x+a)=[-f(x)+1]/[-1-f(x)]=[f(x)-1]/[1+f(x)]=-1/f(x-a)
f(x+2a)=f(x+a+a)=-1/f(x+a-a)=-1/f(x)
f(x-a)=-1/f(x+a)
f(x-2a)=f(x-a-a)=-1/f(x-a+a)=-1/f(x)
∴f(x+2a)=f(x-2a)
∴f(x)是周期函数,4a是一个周期