已知函数f(x)=x-ln(x+a)在x=1处取得极值.若关于x的方程f(x)+2x=X^2+b在[1/2,2]上恰有两不相等的实根,求实数b的范围
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/06 18:39:12
![已知函数f(x)=x-ln(x+a)在x=1处取得极值.若关于x的方程f(x)+2x=X^2+b在[1/2,2]上恰有两不相等的实根,求实数b的范围](/uploads/image/z/2624838-6-8.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E5%87%BD%E6%95%B0f%EF%BC%88x%EF%BC%89%3Dx-ln%EF%BC%88x%2Ba%EF%BC%89%E5%9C%A8x%3D1%E5%A4%84%E5%8F%96%E5%BE%97%E6%9E%81%E5%80%BC.%E8%8B%A5%E5%85%B3%E4%BA%8Ex%E7%9A%84%E6%96%B9%E7%A8%8Bf%EF%BC%88x%EF%BC%89%2B2x%3DX%5E2%2Bb%E5%9C%A8%5B1%2F2%2C2%5D%E4%B8%8A%E6%81%B0%E6%9C%89%E4%B8%A4%E4%B8%8D%E7%9B%B8%E7%AD%89%E7%9A%84%E5%AE%9E%E6%A0%B9%2C%E6%B1%82%E5%AE%9E%E6%95%B0b%E7%9A%84%E8%8C%83%E5%9B%B4)
已知函数f(x)=x-ln(x+a)在x=1处取得极值.若关于x的方程f(x)+2x=X^2+b在[1/2,2]上恰有两不相等的实根,求实数b的范围
已知函数f(x)=x-ln(x+a)在x=1处取得极值.
若关于x的方程f(x)+2x=X^2+b在[1/2,2]上恰有两不相等的实根,求实数b的范围
已知函数f(x)=x-ln(x+a)在x=1处取得极值.若关于x的方程f(x)+2x=X^2+b在[1/2,2]上恰有两不相等的实根,求实数b的范围
f’(x)=1-1/(x+a),因为在x=1处取得极值,所以f’(1)=1-1/(1+a)=0得a=0;
方程f(x)+2x=X^2+b即为3x-lnx=x^2+b,即方程lnx=-x^2+3x-b在[1/2,2]上恰有两不相等的实根
可看成函数g(x)=lnx与函数h(x) =-x^2+3x-b在[1/2,2]上恰有两个交点,求b的取值范围;
设函数g(x)=lnx与函数k(x) =-x^2+3x +c正好相切,想办法求出c;
设切点横坐标为x,则g’(x)=1/x=k’(x)=-2x+3(相切时切线斜率相等),可解得x=1/2或x=1;
当x=1时,由g(x)=k(x)(相切时切点纵坐标相等),可解得c1=-2;
当x=1/2时,由g(x)=k(x)(相切时切点纵坐标相等),可解得c2=-5/4+ln1/2=-5/4-ln2;
数形结合易得:h(x) =-x^2+3x-b只有在k1(x)= -x^2+3x-2和k2(x)= -x^2+3x-5/4-ln2之间上下移动的时候才满足h(x)与g(x) 在[1/2,2]上恰有两个交点,且h(x)不可以等于k1(x)但可以等于k2(x)(因为k1(x)与g(x)只有一个交点,而k2(x)与g(x)有两个交点),所以-2
因为f(x)=x-ln(x+a)在x=1处取得极值,f'(x)=1-1/(x+a),所以f'(1)=1-1/(1+a)=0,解得a=0.
关于x的方程即b=x^2-3x+lnx,令g(x)=x^2-3x+lnx,则g'(x)=2x-3+1/x,令g'(x)=0,解得x=1或x=1/2,
可知g(x)在[1/2,1]单减,[1,2]单增,且g(1/2)=-5/4-ln2,g(1)=-...
全部展开
因为f(x)=x-ln(x+a)在x=1处取得极值,f'(x)=1-1/(x+a),所以f'(1)=1-1/(1+a)=0,解得a=0.
关于x的方程即b=x^2-3x+lnx,令g(x)=x^2-3x+lnx,则g'(x)=2x-3+1/x,令g'(x)=0,解得x=1或x=1/2,
可知g(x)在[1/2,1]单减,[1,2]单增,且g(1/2)=-5/4-ln2,g(1)=-2.g(2)=-2+ln2>g(1/2),所以b的取值范围是(-2,-5/4-ln2].
收起
1. 求a :现求出f(x)的导数,根据“导数在极值点为0”解得a=0;
2. 将f(x)带入原方程,变形得:x^2-3x+b+Inx=0;
3. 设g(x)=x^2-3x+b+Inx,则g(x)=0在[1/2,2]上恰有两不相等的实根,求出g'(x)=2x-3+1/x;
4. 由g'(x)=0解得x=1/2或x=1,带入g(x)得:g(1/2)=-5/4-In2+b,g(...
全部展开
1. 求a :现求出f(x)的导数,根据“导数在极值点为0”解得a=0;
2. 将f(x)带入原方程,变形得:x^2-3x+b+Inx=0;
3. 设g(x)=x^2-3x+b+Inx,则g(x)=0在[1/2,2]上恰有两不相等的实根,求出g'(x)=2x-3+1/x;
4. 由g'(x)=0解得x=1/2或x=1,带入g(x)得:g(1/2)=-5/4-In2+b,g(1)=-2+b,g(2)=-2+In2+b【可以自己画画图】
5.由于有两个不相等的实根,易知g(1)
收起