已知函数f(x)=-1/2-a/4+acosx+sin^2x(0≤x≤π/2)的最大值为2,求实数a的值.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/27 21:51:13
![已知函数f(x)=-1/2-a/4+acosx+sin^2x(0≤x≤π/2)的最大值为2,求实数a的值.](/uploads/image/z/2623743-63-3.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%3D-1%2F2-a%2F4%2Bacosx%2Bsin%5E2x%280%E2%89%A4x%E2%89%A4%CF%80%2F2%29%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%A4%A7%E5%80%BC%E4%B8%BA2%2C%E6%B1%82%E5%AE%9E%E6%95%B0a%E7%9A%84%E5%80%BC.)
已知函数f(x)=-1/2-a/4+acosx+sin^2x(0≤x≤π/2)的最大值为2,求实数a的值.
已知函数f(x)=-1/2-a/4+acosx+sin^2x(0≤x≤π/2)的最大值为2,求实数a的值.
已知函数f(x)=-1/2-a/4+acosx+sin^2x(0≤x≤π/2)的最大值为2,求实数a的值.
-1/2-a/4+acosx+sin^2x
=-1/2-a/4+acosx+1-cos^2x
=-cos^2x+acosx+1/2-a/4
=-(cosx+a/2)^2+a^2/4-a/4+1/2
当-2<=a<=0时 能达到 cosx+a/2=0
最大值为 a^2/4-a/4+1/2=2
整理得 a^2-a-6=0 a=3,a=-2 所以 a=-2
所以|a|>=2
当a>=2时 因为(0≤x≤π/2)
最大值为 -(0+a/2)^2+a^2/4-a/4+1/2=2
整理得 可得a=-6 与 a>=2矛盾 无解
当a<=-2时
最大值为 -(1+a/2)^2+a^2/4-a/4+1/2=2
整理得 -a/4-5/2=0 a=-10
所以 a的值为 2或-10
时间太晚了,计算可能有错,你自己再算一下,解题思路就是这样的
先利用(sinx)^2+(cosx)^2=1,把函数变形为:f(x)= -(cosx)^2+acosx+1/2-a/4
再利用cosx在区间(0≤x≤π/2)上单调递减,所以cosx的取值范围是0≤cosx≤1
再令cosx=t
得到f(t)=-t^2+at+1/2-a/4(0≤t≤1)一个二次函数
它的对称轴是t=a/2
讨论它的位置关系
(1)当...
全部展开
先利用(sinx)^2+(cosx)^2=1,把函数变形为:f(x)= -(cosx)^2+acosx+1/2-a/4
再利用cosx在区间(0≤x≤π/2)上单调递减,所以cosx的取值范围是0≤cosx≤1
再令cosx=t
得到f(t)=-t^2+at+1/2-a/4(0≤t≤1)一个二次函数
它的对称轴是t=a/2
讨论它的位置关系
(1)当0≤a/2≤1时,f(t)的最大值是f(-a/2) => -4a^2-a-7=0
解得:a无解
(2)当1≤a/2时,f(t)的最大值是f(1) => -1+a+1/2-a/4=2 =>a=10/3
(3)当 a/2≤0时,f(t)的最大值是f(0) => a=-6
所以综上所得a=10/3或者a=-6
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