证明,f(x)=√(x²+1)-x在区间(-无穷大,0]上是减函数,在[0,+无穷大)上也是减函数,
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/28 12:27:59
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证明,f(x)=√(x²+1)-x在区间(-无穷大,0]上是减函数,在[0,+无穷大)上也是减函数,
证明,f(x)=√(x²+1)-x在区间(-无穷大,0]上是减函数,在[0,+无穷大)上也是减函数,
证明,f(x)=√(x²+1)-x在区间(-无穷大,0]上是减函数,在[0,+无穷大)上也是减函数,
f(x)=√(x²+1)-x
f'(x)=x/√(x²+1)-1
令f'(x)≤0,即:x/√(x²+1)-1≤0
整理,有:[x-√(x²+1)]/√(x²+1)≤0
因为:恒有√(x²+1)>0
所以:x-√(x²+1)≤0
因为:x^2<x^2+1
所以:恒有x<√(x²+1)
即:无论x取何值,恒有:x-√(x²+1)≤0
因此:函数f(x)的减区间是:x∈(-∞,∞).
即:当x∈(-∞,0]及x∈[0,∞)时,f(x)都是减函数.
f(x)=√(x^2+1)-x
f'(x)=x/√(x^2+1)-1
x<=0,f'(x)<0
x>=0 f'(x)=x/√(x^2+1)-1<√[x^2/(x^2+1)]-1<0
分子有理化即可:f(x)=1/√(x²+1)+x,显然是减函数了