已知函数f(x)=2-|x|,无穷数列{an}满足an+1=f(an),n∈N*(1)若a1=0,求a2,a3,a4;(2)若a1>0,且a1,a2,a3成等比数列,求a1的值(3)是否存在a1,使得a1,a2,…,an,…成等差数列?若存在,求出所有这样的a1,
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/30 06:55:15
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已知函数f(x)=2-|x|,无穷数列{an}满足an+1=f(an),n∈N*(1)若a1=0,求a2,a3,a4;(2)若a1>0,且a1,a2,a3成等比数列,求a1的值(3)是否存在a1,使得a1,a2,…,an,…成等差数列?若存在,求出所有这样的a1,
已知函数f(x)=2-|x|,无穷数列{an}满足an+1=f(an),n∈N*
(1)若a1=0,求a2,a3,a4;
(2)若a1>0,且a1,a2,a3成等比数列,求a1的值
(3)是否存在a1,使得a1,a2,…,an,…成等差数列?若存在,求出所有这样的a1,若不存在,说明理由.
已知函数f(x)=2-|x|,无穷数列{an}满足an+1=f(an),n∈N*(1)若a1=0,求a2,a3,a4;(2)若a1>0,且a1,a2,a3成等比数列,求a1的值(3)是否存在a1,使得a1,a2,…,an,…成等差数列?若存在,求出所有这样的a1,
(1)由题意,代入计算得a2=2,a3=0,a4=2;
(2)a2=2-|a1|=2-a1,a3=2-|a2|=2-|2-a1|,
①当0<a1≤2时,a3=2-(2-a1)=a1,
所以a12=(2−a1)2,得a1=1;
②当a1>2时,a3=2-(a1-2)=4-a1,
所以a1(4−a1)=(2−a1)2,得a1=2−根号2 (舍去)或a1=2+根号2
综合①②得a1=1或a1=2+根号2
(3)假设这样的等差数列存在,那么a2=2-|a1|,
a3=2-|2-|a1||,由2a2=a1+a3得2-a1+|2-|a1||=2|a1|(*),
以下分情况讨论:
①当a1>2时,由(*)得a1=0,与a1>2矛盾;
②当0<a1≤2时,由(*)得a1=1,从而an=1(n=1,2,…),
所以{an}是一个等差数列;
③当a1≤0时,则公差d=a2-a1=(a1+2)-a1=2>0,
因此存在m≥2使得am=a1+2(m-1)>2,
此时d=am+1-am=2-|am|-am<0,矛盾.
综合①②③可知,当且仅当a1=1时,a1,a2,…,an,…成等差数列.