在三角形ABC中,已知向量AB AC=9,sinB=cosA sinC,S三角形ABC=6,P是线段AB上的一点且向量CP=x*向量CA/向量CA的模+y*向量CB/向量CB的模,则1/x+1/y最小值为______________
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/06 21:46:47
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在三角形ABC中,已知向量AB AC=9,sinB=cosA sinC,S三角形ABC=6,P是线段AB上的一点且向量CP=x*向量CA/向量CA的模+y*向量CB/向量CB的模,则1/x+1/y最小值为______________
在三角形ABC中,已知向量AB AC=9,sinB=cosA sinC,S三角形ABC=6,
P是线段AB上的一点且向量CP=x*向量CA/向量CA的模+y*向量CB/向量CB的模,则1/x+1/y最小值为______________
在三角形ABC中,已知向量AB AC=9,sinB=cosA sinC,S三角形ABC=6,P是线段AB上的一点且向量CP=x*向量CA/向量CA的模+y*向量CB/向量CB的模,则1/x+1/y最小值为______________
设AB=c,BC=a,AC=b
∵sinB=cosA•sinC∴sin(A+C)=sinCcosnA
即sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA
∴sinAcosC=0∵sinA≠0∴cosC=0 C=90°
∵AB•AC=9,S△ABC=6
∴bccosA=9,1/2bcsinA=6
∴tanA=4/3,sinA=4/5,cosA=3/5,bc=15
∴c=5,b=3,a=4
以AC为x轴,以BC为y轴,建立直角坐标系
C(0,0)A(3,0)B(0,4)
P为线段AB上的一点,则存在实数λ使得CP=λCA+(1-λ)CB=(3λ,4-4λ)
设CA|CA|=e1,CB|CB|=e2
|e1|=|e2|=1,e1=(1,0),e2=(0,1)
∴CP=xCA/|CA|+yCB/|CB|=(x,0)+(0,y)=(x,y)
∴x=3λ,y=4-4λ,则4x+3y=12
1/x+1/y=1±12(1/x+1/y)(4x+3y)=1/12(7+3y/x+4x/y)≥7/12+√3/3
设向量CA/|CA|=a,则向量a为单位向量,同理设向量CB/|CB|=b;
∵sinB=cosAsinC ∴AC=ABcosA
又∵S⊿ABC=1/2ABACsinA =6 ABAC=9
∴