已知二次函数f(x)=ax²+bx+c(a,b,c∈R),满足f(-1)=0,是否存在常数a,b,c使得x≤f(x)≤(1+x²)/2对一切x都成立.若存在,求得a,b,c的值;若不存在,说明理由.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/30 10:45:03
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已知二次函数f(x)=ax²+bx+c(a,b,c∈R),满足f(-1)=0,是否存在常数a,b,c使得x≤f(x)≤(1+x²)/2对一切x都成立.若存在,求得a,b,c的值;若不存在,说明理由.
已知二次函数f(x)=ax²+bx+c(a,b,c∈R),满足f(-1)=0,是否存在常数a,b,c使得x≤f(x)≤(1+x²)/2对一切x都成立.若存在,求得a,b,c的值;若不存在,说明理由.
已知二次函数f(x)=ax²+bx+c(a,b,c∈R),满足f(-1)=0,是否存在常数a,b,c使得x≤f(x)≤(1+x²)/2对一切x都成立.若存在,求得a,b,c的值;若不存在,说明理由.
∵f(-1)=0
∴a-b+c=0①
∵x≤f(x)≤ (1+x²) /2 对一切x∈R均成立,
∴当x=1时也成立,即1≤a+b+c≤1.
故有a+b+c=1.②
由①②得b=1/2,c=1/2 -a.
∴f(x)=ax²+1/2x+1/2 -a.
则x≤ax²+1/2x+1/2-a≤(1+x²) /2 对一切x∈R成立,
也即ax²-1/2x+1/2-a≥0
(1−2a)x²−x+2a≥0
故下面4个条件都必须同时符合:
a>0
(-1/2)²-4a(1/2-a)≤0
1−2a>0
1−4(1−2a)·2a≤0
解得a=1/4
∴c=1/2-a=1/4
∴当a=1/4,b=1/2,c=1/4时,x≤f(x)≤(1+x²)/2对一切x都成立.