对任意实数x,不等式2x+2/x²+x+1 >k恒成立,则k的取值范围为
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/27 05:08:31
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对任意实数x,不等式2x+2/x²+x+1 >k恒成立,则k的取值范围为
对任意实数x,不等式2x+2/x²+x+1 >k恒成立,则k的取值范围为
对任意实数x,不等式2x+2/x²+x+1 >k恒成立,则k的取值范围为
设y=(2x+2)/(x²+x+1),去分母整理得关于x的方程yx²+(y-2)x+y-2=0,
因为方程有解,所以△=(y-2)²-4y(y-2)≥0,解得-3/2≤y≤2.
因为对任意实数x,不等式(2x+2)/(x²+x+1) >k恒成立,即y>k恒成立,
所以k
其实就是在x为任意数的情况下,解多项式2x+2/x^2+x+1的值域,只要k小于这个值域的最小值就可以了。
移项,得2x+2>kx^2+kx+k
然后合并同类项,得kx^2+(k-2)x+k-2>0
分类讨论,
k=0时,-2>0矛盾
k≠0:
k>0时,结合图像显然恒成立。
k<0时,判别式△>=0求解即可。
综上,将解求并即可得到答案。
令f(x)=2x+2/x²+x+1
求导得-2x^2-4x/(x^2+x+1)^2
另其等于零。得x=0或x=-2
带入f(x)得f(0)=2,f(-2)=-2/3
故k<-2/3
我不会