已知:a、b、c、d为实数,且a^2+b^2=1、c^2+d^2=1.求证:|ac+bd|≤1.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/02 13:54:41
![已知:a、b、c、d为实数,且a^2+b^2=1、c^2+d^2=1.求证:|ac+bd|≤1.](/uploads/image/z/2428919-71-9.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%3Aa%E3%80%81b%E3%80%81c%E3%80%81d%E4%B8%BA%E5%AE%9E%E6%95%B0%2C%E4%B8%94a%5E2%2Bb%5E2%3D1%E3%80%81c%5E2%2Bd%5E2%3D1.%E6%B1%82%E8%AF%81%3A%7Cac%2Bbd%7C%E2%89%A41.)
已知:a、b、c、d为实数,且a^2+b^2=1、c^2+d^2=1.求证:|ac+bd|≤1.
已知:a、b、c、d为实数,且a^2+b^2=1、c^2+d^2=1.求证:|ac+bd|≤1.
已知:a、b、c、d为实数,且a^2+b^2=1、c^2+d^2=1.求证:|ac+bd|≤1.
设a=sinA,b=cosA; c=sinB,d=cosB; 则
|ac+bd|
=|sinAsinB+cosAcosB|
=|cos(A-B)|
楼上的解法是一种比较简单的解法,但对于没有接触过三角函数的人来说,可以用下面的这种方法:
证明:欲证式等价于:(ac+bd)²≤1=(a²+b²)(c²+d²),即:
a²c²+b²d²+2abcd≤a²c²+a²d²+b²c²+...
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楼上的解法是一种比较简单的解法,但对于没有接触过三角函数的人来说,可以用下面的这种方法:
证明:欲证式等价于:(ac+bd)²≤1=(a²+b²)(c²+d²),即:
a²c²+b²d²+2abcd≤a²c²+a²d²+b²c²+b²d²
2abcd≤a²d²+b²c²
0≤(ad-bc)²
上式明显成立,倒推即可。
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