函数f(x)=1/3x^3+ax^2+bx+c且函数g(x)=f(x)-2/3的图象关于原点对称函数f(x)=1/3x^3+ax^2+bx+c且函数g(x)=f(x)-(2/3)的图象关于原点对称,求a c的值若方程f(x)=0有三个不相同的实数根,求b的取值范围.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/06 20:44:15
![函数f(x)=1/3x^3+ax^2+bx+c且函数g(x)=f(x)-2/3的图象关于原点对称函数f(x)=1/3x^3+ax^2+bx+c且函数g(x)=f(x)-(2/3)的图象关于原点对称,求a c的值若方程f(x)=0有三个不相同的实数根,求b的取值范围.](/uploads/image/z/1858862-38-2.jpg?t=%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%3D1%2F3x%5E3%2Bax%5E2%2Bbx%2Bc%E4%B8%94%E5%87%BD%E6%95%B0g%28x%29%3Df%28x%29-2%2F3%E7%9A%84%E5%9B%BE%E8%B1%A1%E5%85%B3%E4%BA%8E%E5%8E%9F%E7%82%B9%E5%AF%B9%E7%A7%B0%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%3D1%2F3x%5E3%2Bax%5E2%2Bbx%2Bc%E4%B8%94%E5%87%BD%E6%95%B0g%28x%29%3Df%28x%29-%282%2F3%29%E7%9A%84%E5%9B%BE%E8%B1%A1%E5%85%B3%E4%BA%8E%E5%8E%9F%E7%82%B9%E5%AF%B9%E7%A7%B0%2C%E6%B1%82a+c%E7%9A%84%E5%80%BC%E8%8B%A5%E6%96%B9%E7%A8%8Bf%28x%29%3D0%E6%9C%89%E4%B8%89%E4%B8%AA%E4%B8%8D%E7%9B%B8%E5%90%8C%E7%9A%84%E5%AE%9E%E6%95%B0%E6%A0%B9%2C%E6%B1%82b%E7%9A%84%E5%8F%96%E5%80%BC%E8%8C%83%E5%9B%B4.)
函数f(x)=1/3x^3+ax^2+bx+c且函数g(x)=f(x)-2/3的图象关于原点对称函数f(x)=1/3x^3+ax^2+bx+c且函数g(x)=f(x)-(2/3)的图象关于原点对称,求a c的值若方程f(x)=0有三个不相同的实数根,求b的取值范围.
函数f(x)=1/3x^3+ax^2+bx+c且函数g(x)=f(x)-2/3的图象关于原点对称
函数f(x)=1/3x^3+ax^2+bx+c且函数g(x)=f(x)-(2/3)的图象关于原点对称,求a c的值若方程f(x)=0有三个不相同的实数根,求b的取值范围.
函数f(x)=1/3x^3+ax^2+bx+c且函数g(x)=f(x)-2/3的图象关于原点对称函数f(x)=1/3x^3+ax^2+bx+c且函数g(x)=f(x)-(2/3)的图象关于原点对称,求a c的值若方程f(x)=0有三个不相同的实数根,求b的取值范围.
1.由题意可知g(x)是一个奇函数.所以f(x)-2/3也为奇函数.
f(x)-2/3=1/3x^3+ax^2+bx+c-2/3为奇函数
所以其所有x的偶数次方项的系数均为0.
由此可得a=0,c=2/3
2.由1可得f(x)=1/3x^3+bx+2/3
因为方程f(x)=0有三个不相同的实数根,且其为一个三次函数,可得其极大值大于0,极小值小于0
求导,f'(x)=x^2+b.
因为f'(x)有两个不同零点,所以b
(1)、由题意知g(x)=f(x)-2/3=(1/3)x³+ax²+bx+c-2/3为奇函数
所以对任意x都有g(x)+ g(-x)=0,即
[(1/3)x³+ax²+bx+c-2/3]+[ (1/3)(-x)³+a(-x)²+b(-x)+c-2/3]=0
化简得2ax²+2c-4/3=0
要使...
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(1)、由题意知g(x)=f(x)-2/3=(1/3)x³+ax²+bx+c-2/3为奇函数
所以对任意x都有g(x)+ g(-x)=0,即
[(1/3)x³+ax²+bx+c-2/3]+[ (1/3)(-x)³+a(-x)²+b(-x)+c-2/3]=0
化简得2ax²+2c-4/3=0
要使上等式对任意x恒成立,只有a=0,进而可算得c=2/3
(2)、由(1)可得f(x)= (1/3)x³+bx+2/3
对f(x)求导得f’(x)=x²+b
显然,若b≥0,则f’(x)≥0,原函数f(x)为单调增函数,方程f(x)=0只有一个解,不符题意,所以只有b<0
令f’(x)≥0以求原函数f(x)的增区间得x²+b≥0,解之得x≤-√(-b)或x≥√(-b)
令f’(x)≤0以求原函数f(x)的减区间得x²+b≤0,解之得-√(-b)≤x x≤√(-b)
从而可知,函数f(x)的图像是一个“N”形的曲线,且知
f(x)在x= -√(-b)时取得极大值,极大值=f(-√(-b))=(2/3)[1-b√(-b)]
f(x)在x=√(-b)时取得极小值,极小值=f(√(-b))=(2/3)[1+b√(-b)]
要使方程f(x)=0有三个不相同的实数根,只有,极小值<0<极大值,即
(2/3)[1+b√(-b)]<0<(2/3)[1-b√(-b)],结合上面得出的b<0,解这个不等式组得
b<-1
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