设向量a=(1+cosα,sinα),b=(1-cosβ,sinβ),c=(1,0),a∈(0,π),β∈(π,2πa与c的夹为θ1,b与c的夹角为θ2,且θ1-θ2=π/3,求sinα-β/4的值.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/05 20:06:18
![设向量a=(1+cosα,sinα),b=(1-cosβ,sinβ),c=(1,0),a∈(0,π),β∈(π,2πa与c的夹为θ1,b与c的夹角为θ2,且θ1-θ2=π/3,求sinα-β/4的值.](/uploads/image/z/1812631-31-1.jpg?t=%E8%AE%BE%E5%90%91%E9%87%8Fa%3D%EF%BC%881%2Bcos%CE%B1%2Csin%CE%B1%29%2Cb%3D%281-cos%CE%B2%2Csin%CE%B2%29%2Cc%3D%281%2C0%29%2Ca%E2%88%88%EF%BC%880%2C%CF%80%EF%BC%89%2C%CE%B2%E2%88%88%28%CF%80%2C2%CF%80a%E4%B8%8Ec%E7%9A%84%E5%A4%B9%E4%B8%BA%CE%B81%2Cb%E4%B8%8Ec%E7%9A%84%E5%A4%B9%E8%A7%92%E4%B8%BA%CE%B82%2C%E4%B8%94%CE%B81-%CE%B82%3D%CF%80%2F3%2C%E6%B1%82sin%CE%B1-%CE%B2%2F4%E7%9A%84%E5%80%BC.)
设向量a=(1+cosα,sinα),b=(1-cosβ,sinβ),c=(1,0),a∈(0,π),β∈(π,2πa与c的夹为θ1,b与c的夹角为θ2,且θ1-θ2=π/3,求sinα-β/4的值.
设向量a=(1+cosα,sinα),b=(1-cosβ,sinβ),c=(1,0),a∈(0,π),β∈(π,2π
a与c的夹为θ1,b与c的夹角为θ2,且θ1-θ2=π/3,求sinα-β/4的值.
设向量a=(1+cosα,sinα),b=(1-cosβ,sinβ),c=(1,0),a∈(0,π),β∈(π,2πa与c的夹为θ1,b与c的夹角为θ2,且θ1-θ2=π/3,求sinα-β/4的值.
解一下:(向量我用大写字母表示)设向量的起点都在原点
因为a∈(0,π),β∈(π,2π)
所以sina>0,sinβ0,1-cosβ>0,所以向量A在第一象限,向量B在第四象限
所以tanθ1=sinα/(1+cosα)
=2sin(α/2)cos(α/2)÷{1+[cos(α/2)]^2-[sin(α/2)]^2}
=2sin(α/2)cos(α/2)÷{2[cos(α/2)]^2}
=sin(α/2)/cos(α/2)
=tan(α/2)
tan(θ2)=-sinβ/(1-cosβ)
=-2sin(β/2)cos(β/2)÷{1-[cos(β/2)]^2+[sin(β/2)]^2}
=-2sin(β/2)cos(β/2)÷{2[sin(β/2)]^2}
=-cos(β/2)/sin(β/2)
=-cot(β/2)
又θ1-θ2=π/3,所以有tan(θ1-θ2)=tanπ/3=(√3)
而tan(θ1-θ2)=(tanθ1-tanθ2)/(1+tanθ1tanθ2)
={tan(α/2)-[-cot(β/2)]}/[1-tan(α/2)cot(β/2)]
=[sin(α/2)sin(β/2)+cos(β/2)cos(α/2)]/[sin(β/2)cos(α/2)-sin(α/2)cos(β/2)]
=cos[(α-β)/2]/sin[(β-α)/2]
=-cot[(α-β)/2]
所以cot[(α-β)/2]=-(√3)
cos[(α-β)/2]=-(√3)sin[(α-β)/2]
代入{cos[(α-β)/2]}^2+{sin[(α-β)/2]}^2=1
再由a∈(0,π),β∈(π,2π)得(α-β)/2∈(-π,0),所以sin[(α-β)/2]