已知数列 {an}中,a1=2,an+1(n+1是a的下标)=(√2 -1)(an+2),n∈N*,求数列{an}的通项公式
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/01 07:04:41
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已知数列 {an}中,a1=2,an+1(n+1是a的下标)=(√2 -1)(an+2),n∈N*,求数列{an}的通项公式
已知数列 {an}中,a1=2,an+1(n+1是a的下标)=(√2 -1)(an+2),n∈N*,求数列{an}的通项公式
已知数列 {an}中,a1=2,an+1(n+1是a的下标)=(√2 -1)(an+2),n∈N*,求数列{an}的通项公式
其实对于解这种类型的数列通项公式,我们需要把所给的等式变形成我们熟悉的数列类型,方法如下:(觉得我下面那方法对你解这类题有触动的话就顶顶啦)
对数列等式:An+1=[2^(1/2)~1](An+2) 两边同时除以[2^(1/2)~1]^(n+1) 可化简为:
An+1/[2^(1/2)~1]^(n+1)=An/[2^(1/2)~1]^n + 2/[2^(1/2)~1]^n
令Bn=An/[2^(1/2)~1]^n ,则有B1=A1/[2^(1/2)~1]=2[2^(1/2)+1]
则关于数列 {An}的等式就转换为我们熟悉的数列 {Bn},即:
Bn+1=Bn + 2/[2^(1/2)~1]^n
则有(Bn+1)~ (Bn ) =2/[2^(1/2)~1]^n
由裂项求和方法有:
Bn=(Bn~Bn-1)+(Bn-1~Bn-2)+.+(B3~b2)+(B2~B1)+B1
=2/[2^(1/2)~1]^(n-1)+ 2/[2^(1/2)~1]^(n-2)+ 2/[2^(1/2)~1]^(n-3)+ .+2/[2^(1/2)~1]
^2 + 2/[2^(1/2)~1 ]+ 2[2^(1/2)+1]
=2^(1/2).{1 + [2^(1/2)+1]/[[2^(1/2)~1]^(n-2) }
所以有An=Bn.[2^(1/2)~1]^n
=[2 2^(1/2)][2^(1/2)~1]^(n-1) +1]
下面给出图片让你更好的看懂
an=√2[(√2-1)^n+1]