方阵A满足A^2-2A-3E=0,证明A+2E可逆,并求其逆.证明:由A^2-2A-3E=0,知(A+2E)(A-4E)=-5E,故A+2E可逆,且(A+2E)^-1=1/5(4E-A).为什么要凑成这样“(A+2E)(A-4E)=-5E,故A+2E可逆,”做.怎么样就证明了A+2E可逆.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/28 10:54:57
![方阵A满足A^2-2A-3E=0,证明A+2E可逆,并求其逆.证明:由A^2-2A-3E=0,知(A+2E)(A-4E)=-5E,故A+2E可逆,且(A+2E)^-1=1/5(4E-A).为什么要凑成这样“(A+2E)(A-4E)=-5E,故A+2E可逆,”做.怎么样就证明了A+2E可逆.](/uploads/image/z/1719006-6-6.jpg?t=%E6%96%B9%E9%98%B5A%E6%BB%A1%E8%B6%B3A%5E2-2A-3E%3D0%2C%E8%AF%81%E6%98%8EA%2B2E%E5%8F%AF%E9%80%86%2C%E5%B9%B6%E6%B1%82%E5%85%B6%E9%80%86.%E8%AF%81%E6%98%8E%EF%BC%9A%E7%94%B1A%5E2-2A-3E%3D0%2C%E7%9F%A5%28A%2B2E%29%28A-4E%29%3D-5E%2C%E6%95%85A%2B2E%E5%8F%AF%E9%80%86%2C%E4%B8%94%28A%2B2E%29%5E-1%3D1%2F5%284E-A%29.%E4%B8%BA%E4%BB%80%E4%B9%88%E8%A6%81%E5%87%91%E6%88%90%E8%BF%99%E6%A0%B7%E2%80%9C%28A%2B2E%29%28A-4E%29%3D-5E%2C%E6%95%85A%2B2E%E5%8F%AF%E9%80%86%2C%E2%80%9D%E5%81%9A.%E6%80%8E%E4%B9%88%E6%A0%B7%E5%B0%B1%E8%AF%81%E6%98%8E%E4%BA%86A%2B2E%E5%8F%AF%E9%80%86.)
方阵A满足A^2-2A-3E=0,证明A+2E可逆,并求其逆.证明:由A^2-2A-3E=0,知(A+2E)(A-4E)=-5E,故A+2E可逆,且(A+2E)^-1=1/5(4E-A).为什么要凑成这样“(A+2E)(A-4E)=-5E,故A+2E可逆,”做.怎么样就证明了A+2E可逆.
方阵A满足A^2-2A-3E=0,证明A+2E可逆,并求其逆.
证明:由A^2-2A-3E=0,知(A+2E)(A-4E)=-5E,故A+2E可逆,且(A+2E)^-1=1/5(4E-A).为什么要凑成这样“(A+2E)(A-4E)=-5E,故A+2E可逆,”做.怎么样就证明了A+2E可逆.
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因为 (A+2E)(A-4E)=-5E
右边是可逆矩阵,而且可以写成左边的两个矩阵的乘积,所以根据矩阵乘积的rank(秩)小于等于各乘数矩阵rank的最小值这一原理,左边的两个矩阵都是满秩的,即都是可逆的,故A+2E可逆,且(A+2E)^-1=1/5(4E-A).
可逆矩阵的行列式不等于0
原式两边取行列式得
|A+2E||A-4E|=|-5E|不等于0
故|A+2E|,|A-4E|不等于0
即|A+2E|可逆
若方阵A、B满足AB=E,则两边取行列式可知
|A||B|=|AB|=|E|=1
因此|A|、|B|均不为零,从而A,B均可逆。
由逆阵的唯一性知A=B^(-1),B=A^(-1)