【高一数学】已知函数f(x)=2sin^2(π/4+x)-(√3)cos2x,x∈[π/4,π/2]1:求f(x)的最大值和最小值.2:|f(x)-m|<2在x∈[π/4,π/2]上恒成立,求实数m的取值范围.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/30 01:40:37
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【高一数学】已知函数f(x)=2sin^2(π/4+x)-(√3)cos2x,x∈[π/4,π/2]1:求f(x)的最大值和最小值.2:|f(x)-m|<2在x∈[π/4,π/2]上恒成立,求实数m的取值范围.
【高一数学】已知函数f(x)=2sin^2(π/4+x)-(√3)cos2x,x∈[π/4,π/2]
1:求f(x)的最大值和最小值.
2:|f(x)-m|<2在x∈[π/4,π/2]上恒成立,求实数m的取值范围.
【高一数学】已知函数f(x)=2sin^2(π/4+x)-(√3)cos2x,x∈[π/4,π/2]1:求f(x)的最大值和最小值.2:|f(x)-m|<2在x∈[π/4,π/2]上恒成立,求实数m的取值范围.
(1)
f(x)=2sin²(π/4+x)-√3cos2x
=1-cos(2(π/4+x))-√3cos2x
=1-cos(π/2+2x)-√3cos2x
=1+sin2x-√3cos2x
=1+2sin(2x-π/3)
x∈[π/4,π/2],则2x-π/3∈[π/6,2π/3]
所以sin(2x-π/3)∈[1/2,1]
所以f(x)∈[2,3]
即f(x)的最大值为3,最小值为2.
(2)
由|f(x)-m|
(1)
由题知,f(x)=1-cos(2x+π/2)-(√3)cos2x
=sin2x-(√3)cos2x+1
=2sin(2x-π/3)+1
由x∈[π/4,π/2] 。所以,π/6≤2x-π/3≤2π/3。
所以,当2x-...
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(1)
由题知,f(x)=1-cos(2x+π/2)-(√3)cos2x
=sin2x-(√3)cos2x+1
=2sin(2x-π/3)+1
由x∈[π/4,π/2] 。所以,π/6≤2x-π/3≤2π/3。
所以,当2x-π/3=π/2,即x=5π/12时,函数有最大值3;
当2x-π/3=π/6,即x=π/4时,函数有最小值2。
(2)
由(1)知,2≤f(x)≤3,记t=f(x)。有|t-m|<2,即(t-m)^2<4,t^2-2mt+m^2-4<0,
其中t∈[2,3]。我们可以将问题看作二次函数g(t)=t^2-2mt+m^2-4在区间[2,3]上函数值小于0的问题。 即有g(2)<0,g(3)<0,得m^2-4m<0, 0
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f(x)=1-cos(π/2+2x)-(√3)cos2x=1+sin2x-(√3)cos2x=2sin(2x-π/3)-1.
所以最大值为3,最小值为2。
f(x)属于[2,3],-2
解:
1
两倍角公式: 1-cos2a=2sin²a
∴f(x)=1-cos(2x+π/2)-√3cos2x [j将cos(2x+π/2)和差化积出来]
=sin2x-√3cos2x+1
=2[sin2xcosπ/3-sinπ/3cos2x]+1
=2sin(2x-π/3)+1
x∈[π/4,π/2] 2x∈[π/2,...
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解:
1
两倍角公式: 1-cos2a=2sin²a
∴f(x)=1-cos(2x+π/2)-√3cos2x [j将cos(2x+π/2)和差化积出来]
=sin2x-√3cos2x+1
=2[sin2xcosπ/3-sinπ/3cos2x]+1
=2sin(2x-π/3)+1
x∈[π/4,π/2] 2x∈[π/2,π] 2x-π/3∈[π/6,2π/3]
∴ 2x-π/3=π/2 f(x)有最大值=2×1+1=3
2x-π/3=π/6 ,f(x)有最小值=2×1/2+1=2
函数的最大值3,最小值2.
2
1已知2≤f(x)≤3
记t=f(x) t∈[2,3]
对于|t-m|<2,亦即 (t-m)²<4,(t-m)²-4<0 恒成立
亦即g(t)=(t-m)²-4 在区间[2,3]恒小于0
∵g(t)抛物线开口向上,对称轴为 t=m
①当 m≤2时,g(3)<0
即 (3-m)²-4<0 ,|3-m|<2 1
即 (2-m)²-4<0 ,|2-m|<2 0
③ 2
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