若x>0,y>0,且根号x+根号y≤a*根号(x+y)恒成立,求a的最小值
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/29 02:58:47
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若x>0,y>0,且根号x+根号y≤a*根号(x+y)恒成立,求a的最小值
若x>0,y>0,且根号x+根号y≤a*根号(x+y)恒成立,求a的最小值
若x>0,y>0,且根号x+根号y≤a*根号(x+y)恒成立,求a的最小值
√x+√y
【1】
∵x,y>0,
∴由均值不等式可得:x+y≥2√(xy).等号仅当x=y时取得。
∴两边同加x+y,可得:
2(x+y)≥(√x+√y)²
∴两边开平方,√[2(x+y)]≥√x+√y.
该不等式两边同除以√(x+y),可得:
(√x+√y)/√(x+y)≤√2
∴对任意实数x,y>0,恒有:
(√...
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【1】
∵x,y>0,
∴由均值不等式可得:x+y≥2√(xy).等号仅当x=y时取得。
∴两边同加x+y,可得:
2(x+y)≥(√x+√y)²
∴两边开平方,√[2(x+y)]≥√x+√y.
该不等式两边同除以√(x+y),可得:
(√x+√y)/√(x+y)≤√2
∴对任意实数x,y>0,恒有:
(√x+√y)/√(x+y)≤√2.等号仅当x=y时取得。
【2】
由题设可知,对任意实数x,y>0,恒有:
√x+√y≤a√(x+y).
∴恒有(√x+√y)/√(x+y)≤a.
结合上面的结论,可知:a≥√2.
∴(a)min=√2.
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