四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,边长为a,PD=a,PA=PC=√2a,(1)求证:PD⊥平面ABCD;(2)求证:直线PB与AC垂直;(3)求二面角A-PB-D的大小;(4)在这个四棱锥中放入一个球,求球的最大半径;(
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/05 20:02:10
![四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,边长为a,PD=a,PA=PC=√2a,(1)求证:PD⊥平面ABCD;(2)求证:直线PB与AC垂直;(3)求二面角A-PB-D的大小;(4)在这个四棱锥中放入一个球,求球的最大半径;(](/uploads/image/z/15241616-8-6.jpg?t=%E5%9B%9B%E6%A3%B1%E9%94%A5P-ABCD%E4%B8%AD%2C%E5%BA%95%E9%9D%A2ABCD%E6%98%AF%E6%AD%A3%E6%96%B9%E5%BD%A2%2C%E8%BE%B9%E9%95%BF%E4%B8%BAa%2CPD%3Da%2CPA%3DPC%3D%E2%88%9A2a%2C%EF%BC%881%EF%BC%89%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9APD%E2%8A%A5%E5%B9%B3%E9%9D%A2ABCD%EF%BC%9B%EF%BC%882%EF%BC%89%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9A%E7%9B%B4%E7%BA%BFPB%E4%B8%8EAC%E5%9E%82%E7%9B%B4%EF%BC%9B%EF%BC%883%EF%BC%89%E6%B1%82%E4%BA%8C%E9%9D%A2%E8%A7%92A-PB-D%E7%9A%84%E5%A4%A7%E5%B0%8F%EF%BC%9B%EF%BC%884%EF%BC%89%E5%9C%A8%E8%BF%99%E4%B8%AA%E5%9B%9B%E6%A3%B1%E9%94%A5%E4%B8%AD%E6%94%BE%E5%85%A5%E4%B8%80%E4%B8%AA%E7%90%83%2C%E6%B1%82%E7%90%83%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%A4%A7%E5%8D%8A%E5%BE%84%EF%BC%9B%EF%BC%88)
四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,边长为a,PD=a,PA=PC=√2a,(1)求证:PD⊥平面ABCD;(2)求证:直线PB与AC垂直;(3)求二面角A-PB-D的大小;(4)在这个四棱锥中放入一个球,求球的最大半径;(
四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,边长为a,PD=a,PA=PC=√2a,
(1)求证:PD⊥平面ABCD;
(2)求证:直线PB与AC垂直;
(3)求二面角A-PB-D的大小;
(4)在这个四棱锥中放入一个球,求球的最大半径;
(5)求四棱锥外接球的半径.
这道题没图的.
四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,边长为a,PD=a,PA=PC=√2a,(1)求证:PD⊥平面ABCD;(2)求证:直线PB与AC垂直;(3)求二面角A-PB-D的大小;(4)在这个四棱锥中放入一个球,求球的最大半径;(
(1)证明:
由题意
PD^2+AD^2=PA^2
所以三角形PAD是直角三角形,且∠PDA是直角
即PD⊥PA
同理,PD⊥DC
又AD∩DC=C
所以PD⊥平面ABCD
(2)证明:
连结BD交AC于O
连结MO
因为M、O分别是PC、DB的中点,
所以MO‖PB
又MO在平面AMC内
所以PB‖平面AMC
因为MO‖PB
所以∠DOA是异面直线AC与PB所成的角
由(1)可知,△PAD≌△PCD
所以AM=CM
又O是AC的中点,
所以DO⊥AC
所以∠DOA=90°
即PB⊥AC
所以异面直线AC与PB所成的角为90°
在三角形PAD中,PD=a PA==√2a AD=a 则cosPAD=cosAPD=a/√2a=√2/2 所以两角为45°
所以角PDA=180°-45°-45°=90°
同理在三角形PCD中也有角PDC=90°
因为同一平面ABCD中同时有两条相交直线CD和AD垂直于PD,
所以PD⊥平面ABCD
算了,后面不做了。
证明:(1)由PD=a,PA=PC=√2a,且底面边长为a,可知
(2)连结AC,BD,交于E点,由正方形得AC垂直于BD,又由(1)AC垂直于PD,故AC垂直于平面PDB,从而PB垂直于AC
(3)由(2)A点在平面PBD上的投影为E点,故COS二面角=三角形PEB的面积除以三角形PAB的面积=1/...
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证明:(1)由PD=a,PA=PC=√2a,且底面边长为a,可知
(2)连结AC,BD,交于E点,由正方形得AC垂直于BD,又由(1)AC垂直于PD,故AC垂直于平面PDB,从而PB垂直于AC
(3)由(2)A点在平面PBD上的投影为E点,故COS二面角=三角形PEB的面积除以三角形PAB的面积=1/2*BE*PD/(1/2*PA*AB)=1/2,从而二面角为60度
(4)(5)可用坐标系做好懂,但难算,不算了,应该还有其它方法
收起
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